上證50ETF期權定價實證研究①

2017-04-29 00:00:00劉玉蘭李姍

中國商論 2017年33期

摘要：2015年2月9日，我國境內首只股票期權——上證50ETF期權正式上市交易，打開了我國證券市場權益期權時代的大門，將對我國整個金融市場的發展產生深遠且持久的影響，因此對研究該期權的定價問題有著深刻的意義。本文主要用基于歷史波動率和基于GARCH模型預測的波動率的B-S模型為期權定價，并用平均偏離度量化結果進行分析，得出基于GARCH模型的B-S期權定價方法預測的效果好于其歷史波動率的B-S期權定價效果的結論。

關鍵詞：上證50ETF期權 B-S期權定價公式 GARCH模型平均偏離度

中圖分類號：F832.5 文獻標識碼：A 文章編號：2096-0298（2017）11（c）-022-03

在2005年2月23日，首個采用華夏上證50指數作為跟蹤標的ETF產品正式登陸我國證券交易市場，上證50ETF上市后交易非常活躍，充分說明了投資者對這一品種的認可程度。上證50ETF期權是一種股票期權，從長期來看股票期權有助于完善資本市場的風險管理功能和價格發現機制，有利于豐富交易品種和交易機制，所以ETF期權的發展迅速，該產品的交易已經由美國擴展到其他國家主要市場。在2015年2月9日，我國境內首只上證50ETF期權正式上市交易，推開了我國證券市場權益期權時代的大門，將對我國金融市場的發展有著深遠且持久的影響。合理定價是期權合約設計的基礎，有效的合約設計則是期權市場穩定運行的關鍵。因此我們在此研究該期權的定價問題有著深刻的意義，如何準確地對股票期權定價不僅是金融學的重要理論命題之一，同時也是一個重要的實踐問題。

1 模型基礎

1.1 BSM模型

1900年，Louis Bachelier 歷史性的將布朗運動抽象成數學模型，證明了布朗運動可以解釋股票價格行為的特征，用數理方法建立了長周期下股票價格波動的概率法則，給出了最早期的期權定價模型。

不足之處就是股價可能為負數，他沒有考慮貨幣自身的時間價值。

隨后，Sprenkle認為股票價格服從對數正態分布，引入了股票價格的平均增長率P和投機者的風險態度A，建立了新的模型。

風險態度A是非常主觀和不可測的因素，難以量化，同時也沒有考慮貨幣的時間價值。

1964年James Boness認為，期權的價格受到股價增長率P的影響，同時股票價格波動性也是影響期權價格的重要因素，并假設風險等級一樣的股票具有相同的P，P服從對數正態分布，認購認沽期權投資者對風險的態度對稱。建立改善模型：

不足之處在于過渡依賴股價增長率P，未考慮期權和股票之間的風險差異。之后，Samuelson將前人研究結果統一，認為期權本身也是一種風險產品，引入期權價格預期增長率μ衡量期權的風險：

1969年，Fisher Black，Myron Scholes以無套利理論作為基礎，運用有效市場理論、無套利理論等，求出現在的B-S偏微分方程。1973年，最終在“期權定價與公司債務”（the pricing of options and corporate liability）中提出著名的衍生品價格的偏微分方程——Black-Scholes公式：

假設標的資產的交易是連續的，衍生產品的價格變動也是連續的，并且都遵循幾何布朗運動，在完整無摩擦的市場即不存在無風險套利機會，沒有交易費用和稅收，并且允許賣空機制。

假設標的價格S遵循幾何維納過程，則

C是期權理論值，S為標的資產價格，X是期權行權價，r為無風險利率，σ為波動率，T-t即期權有效期，實際是期權有效天數與一年365天的比值，N（d1），N（d2）是正態分布變量的累積概率分布函數。

盡管B-S模型的假設條件過于嚴密，參數估計有些缺陷，但是B-S模型仍不失為評價期權價值的最有力的工具。

1.2 GARCH模型

應用 B-S公式對股票期權進行定價需要先估計標的資產價格波動率，傳統做法是采用歷史波動率替代，但歷史波動率法對波動率變化的反映存在時滯，且上證50ETF期權定價屬于金融時間序列問題，金融時間序列一般具有條件異方差和波動聚凝性問題，所以我們采用GARCH模型（廣義自回歸條件異方差模型）彌補這些問題。

目前，GARCH族模型在預測股價波動率方面被廣泛認可，GARCH模型是在條件均值的假設和條件方差假設基礎上，建立時間序列模型。

根據前人學者的研究經驗，例如蘇巖，楊振海在利用GARCH，EGARCH與IGARCH模型對人民幣兌日元匯率分析后，結果顯示GARCH（1，1）模型與實際情況最為接近，并進一步得出結論為GARCH（1，1）是我國金融市場數據建模的首選模型。GARCH（1，1）模型公式。

我們使用上證50etf數據對于GARCH（1，1）模型參數進行估計，然后層層迭代得出波動率。

2 實證研究

2.1 數據的選擇

（1）我們要分析數據結構，根據選取的數據，用histfit函數和QQplot函數做統計分析如圖1所示。

根據圖1可知，上證50ETF收益率的偏度（skewness）為0.743，有正偏現象，且上證50ETF的收益率的峰度（kurtosis）等于1.689，小于3，這說明了50etf收益率不滿足正態分布。非正態的屬性說明我們利用GARCH（1，1）模型對波動率進行擬合預測，再利用公式計算期權的價格，具有合理性。

（2）檢驗平穩性，采用單位根檢驗，用adftest函數，得出結果為1，拒絕原假設，說明序列平穩性良好。

（3）檢驗收益序列的相關性，使用自相關函數（autocorr）和偏自相關函數（parcorr），結果如圖2所示。