構圖助思 教學轉向 聚焦素養

一、問題提出

“核心素養”是當前教育領域最受關注的熱詞之一，當教育教學目標定位在核心素養上時，就需要從關注知識點的落實轉向素養的養成。如何轉向是目前廣大教師都在思考的問題。本文以用“一元一次方程解決問題”為例，嘗試一次教學“轉向”，期許落實培養學生的數學核心素養——直觀想象。

初一學生在學習用一元一次方程解決問題的過程中，由于缺乏日常生活的體驗，有時會難以理解實際問題情境，信息收集和加工困難，解應用題也由此成為學習中的一個難點。因此，在應用題教學過程中將一些實際問題情境直觀化，借助圖形去描述和分析問題，把復雜的數學問題變得簡明形象，這樣可以幫助學生準確加工信息，探索出問題解決的路徑，觸發靈動的解題思維。

二、教學簡析

1. 目標與重點。

本節課的教學目標是積極引導學生能自覺構圖，用圖進行分析、解決問題，促進學生直觀想象素養的形成。教學重點是用圖形將文字描述的問題情境轉化為用圖形展示的問題情境，從中找出數量之間的相等關系，再用圖形探索不同的思維解決同一個問題。

2.過程與評析。

問題1：（蘇科版七上）某小組計劃做一批“中國結”，如果每人做5個，那么比計劃多做了9個；如果每人做4個，那么比計劃少做了15個。小組成員共有多少名？他們計劃做多少個“中國結”？

教學環節：

（1）畫圖與分析：邊讀題邊畫出線形圖，畫伸長部分表示“多”、畫縮短的部分表示“少”，如下圖。

（2）用圖與解答：

解法一：（方程解）相等關系：

方案1中的“中國結”計劃數=方案2中的“中國結”計劃數。

解：設小組成員共有x名。

列出方程： 5x-9=4x+15，解這個方程，得x=24。所以5x-9=111。

答：小組成員共有24名，計劃做111個“中國結”。

解法二（算術解）：從圖形上看，兩個方案中的人數沒發生變化，但可以發現，在每一人少做1個的情況下，第二種方案做的“中國結”數比第一種方案做的“中國結”數少9+15=24個，所以直接獲得答案：小組成員為24人。

直觀價值評析：

構建圖形不但能直觀演示，“多”——伸長，“少”——縮短，而且能幫助學生理解多做9個要減9，少做15個要加15，達到“平衡”。利用畫出的線形圖，對問題中的數據信息進行直觀表達，再利用圖形的直觀性獲得“相等關系”。事實上，解法一中更多的是利用直觀思維，解法二更多的利用想象，兩個不同思維解法展示了教學轉向，提升了幾何直觀培養的教學價值，也看到了解法二中所揭示的一點點創造性思維，這對如何利用圖形描述、分析數學問題起到一定的示范作用。

問題2：A、B兩地之間的路程為360千米，甲車從A地出發開往B地，每小時行駛72千米，甲車出發25分鐘后，乙車從B地出發開往A地每小時行駛48千米，兩車相遇后，各自仍按原來方向繼續行駛，那么在相遇后兩車相距120千米時，甲車共行駛了多少小時？

教學環節：

（1）畫圖與分析：行程問題中首先要弄清楚運動的起點、相遇點和終點，通過畫圖直觀模擬兩車運動的整個過程。如圖，甲車運動過程A-D-C-M；乙車運動過程B-C-N。相遇地點設為點C。

（2）用圖與解答：

解法一（方程解）：相等關系：

甲車A-D-C-M的路程+乙車B-C-N的路程=360+120。

解：設甲車共行駛了x小時，則乙車行駛的時間為（x- ）小時。

72x+48（x-）=360+120，得x=（小時）。

解法二（算術解）：甲車在A-D-C-M間共行駛的時間=甲車A-D間行駛用的時間+兩車在D-B間行駛相遇所用時間+兩車在M-N間行駛的時間。

甲車共行駛的時間=+=（小時）。

直觀價值評析：

由于問題中兩車行駛到不同位置的情境沒有可視性，只能憑學生在頭腦中想象。構圖模擬車輛運動過程，不但分清各階段行駛方向和狀態，而且可以獲得路程、時間之間的各種關系。 在一步一步的畫圖中理解相關信息，在一次一次的思考中加工信息。特別在解法二中，將行駛時間進行了整體計時，甲車所用總時間等于在不同的三段上行駛的時間和。這對如何在學習過程中構建數學問題的直觀模型去探索問題的思路具有一定的借鑒作用。

問題3：一天，小明去問李老師的年齡，老師說：“我若是你現在這么大，你才1歲；你若是我現在這么大，我已經37歲。”請求出現在李老師的年齡。

教學環節：

（1）畫圖與分析：如圖，畫一根表示年齡的數軸，再將一根木棒放在數軸上，木棒的左端點A與小明現在年齡數值表示的點重合，右端點B與李老師現在年齡數值表示的點重合，則該線段的長代表兩人的年齡差。若將木棒沿數軸向左移動，當它的左端點停在1歲對應的點時，則它的右端點在數軸上所對應的數為現在小明的年齡；若將木棒沿數軸向右移動，當它的右端點停在37歲對應的點時，則它的左端點在數軸上所對應的數為現在李老師的年齡。

（2）用圖與解答：

解法一 （方程解）：相等關系：AA'（前一次年齡差）=BB'（后一次年齡差）。

解：設小明現在的年齡為x歲，則李老師現在的年齡為（2x-1）歲。

根據題意得，37-（2x-1）= x-1，解這個方程，得x=13。則李老師現在年齡為：2x-1=25（歲）。

解法二 （算術解）：李老師與小明的年齡差始終保持不變，可得年齡差為：（37-1）÷3=12，所以李老師年齡為37-12=25（歲）。

直觀價值分析：

由于問題中出現的1歲和37歲并不是目前學生和教師的實際年齡，學生需要同時對兩人的年齡進行前后之間的推算。通過構圖用線段AB長表示兩人年齡差，兩次年齡變化等于將同一條線段AB在數軸上先后向左、向右各移動一次，也就出現了AA'=AB=BB'，即三個階段的年齡差相等，由此可以看到構圖的價值。用解法二中的方法直接求得線段AB=12，更突顯了思維的簡潔性和直觀想象力，這對如何建立數與形之間的關系去輔助數學思考起著積極的催化作用。

三、教學啟示

在應用題教學中如何將知識點的教學轉向核心素養的教學，重要的一點就是在教學應用題中不斷引導學生利用直觀想象去尋找解題思維。首先，閱讀題目后在頭腦中進行情境分類，關注所研究的實際問題屬于生活中的哪一類型，以便能準確理解實際意義。其次，為了更清楚地理解問題情境，引導學生通過構圖來描述問題，即用另一種圖形語言表達出來，然后再經過信息加工獲得“相等關系”，最后用代數式分別表示等式兩邊所用到的數量，從而完成方程的建立。用一元一次方程解決問題的思維過程可以用下面的流程圖表示：

從文字語言到圖形語言的轉化，是將抽象信息轉向可視信息。不同語言間的轉化是應用題教學的重點和難點。本節課教學中借助構造直觀圖形進行教學，通過圖形分析獲得兩種不同思維形式的解答方法。“圖形”成為輔助思考的關鍵點，“想象”成為創新思維的核心點。

直觀想象是一種解決數學問題的思維方式。學習過程中需要教師有意識地安排相關問題為學生搭建思維平臺，當學生獨立構圖去積極思考探究問題時，也就展現出了學生的直觀想象素養。本節課教學要求不在于會解這樣一個或一類應用題，而是通過類似的問題探究學習，讓學生經歷獨特的直觀想象過程，不斷激活學生的潛能。

核心素養的養成是一個漸進的過程，對于直觀想象素養的培養同樣如此，在教學過程中多從“形數”和“想象”兩方面去引導啟發學生，不斷提升學生感知事物本質的能力，鍛煉學生的創新思維。

（作者為江蘇省常熟市興隆中學校長）

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京師范大學出版社，2012.

[2]劉曉枚.對“幾何直觀”及其培養的認識與分析，《中國數學教育》[J]，2012年第1-2期.