識別“形異質同”，引發教學思考

摘 要

初中數學教師大多熱衷解題研究，特別是對解法技巧、題型歸類的研究熱情很高。如果能更進一步，從形式走向本質，識別出更多“形異質同”的考題，并將其有效關聯，研發成復習課例，便可促進解題研究轉化為有效的“生產力”，從而服務解題教學。

關鍵詞

解題研究 形異質同 思路突破 教學思考

解題研究是很多同行的興趣，尤其是研究一題多解，有些解題研究能化繁為簡，揭示問題的深層結構，對我們深刻理解考題是十分有益的。然而，如果解題研究只是止步于一題多解，或多解歸一，不能從形式走向本質，還是沒有讓解題研究轉化為“生產力”。本文結合筆者近期關注到的兩道同類考題，淺談對同類考題的解題研究與教學思考。

一、同類考題及思路突破

考題1 （2017·陜西第25題節選）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖1所示。管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又要能節約用水，于是，他讓噴灌龍頭的轉角正好等于∠AMB（即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉到MB，然后再轉回，這樣往復噴灌），同時，再合理設計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了。如圖1，已測出AB=24 m，MB=10 m，△AMB的面積為96 m2；過弦AB的中點D作DE⊥AB交[AB]于點E，又測得DE=8m。 請你根據以上提供的信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭的射程至少多少米時，才能實現他的想法？為什么？（結果保留根號或精確到0.01米）

圖1 圖2 圖3

問題解析：這是一道生活情境問題，為了解決王師傅的噴灌龍頭的射程問題，需要將其抽象成幾何圖形中求最值的問題，即在圖1中，點M到圖形中哪一個點的距離最大。目測似乎是AM的長最大，但這種“直覺”往往會誤導我們，我們還需要考慮點在劣弧AB上的情況，并且要經過計算再進行比較。

性質回顧：我們先回顧“圓”的一個常見性質，如圖2，若點M是圓O內一點，則過點M的最長弦、最短弦在哪兒？顯然，如圖3，我們可先作直線OM得出直徑AB，再過M作CD⊥AB，交圓O于C、D，則所求的最長弦即直徑AB，最短弦即為CD。

圖4 圖5 圖6

思路突破：如圖4，設劣弧AB的圓心為O，尋找點M到圓的最遠距離應該作射線MO交劣弧AB于F點。接下來要解決兩個難點，一是劣弧AB的半徑以及OM的長。于是構造圖5，在圖5中，利用垂徑定理，可得AD=12，在Rt△AOD中，AO2 =122+（AO-8）2，解得：OA=13。構造圖6進一步求出OM的長，過點M作MN⊥AB，垂足為N，過O作OH⊥MN，垂足為H。由S△ABM=96，AB=24，可得MN=8，NB=6，AN=18，相應的MH=3，于是在Rt△OMH中，OM=[MH2+OH2]=[32+62]=[35]，結合上面已求出[AB]的半徑為13，MF=OM+r=[35]+13≈19.71（m）。

如果就這樣給出答案還不夠嚴謹，因為缺少對圓心O是否在△AMB內部的分析。

如圖7，設直線EO交AM于C點，

圖7

由CD∥MN，可得△ADC∽△ANM，[DCMN]=[ADAN]，[DC8]=[1218]，算出DC=[163]，顯然OD

考題2 （2017·江蘇某縣模考卷第28題）如圖8，平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（-3，0）兩點，與y軸的負半軸交于點C，且OA∶OC=1∶3。（1）求a，b，c的值；（2）過點B作線段BC的垂線交拋物線于點D，試判斷以點A為圓心，AD的長為半徑的圓與y軸的位置關系，并給出證明；（3）設直線x=3與直線BD相交于點G，與x軸交于點N，問：在⊙A上是否存在一點Q，使△QOG的面積最大？若存在，求出△QOG面積的最大值；若不存在，請說明理由。

圖8

圖9

思路突破：（1）結合A，B點的坐標，可以設出交點式y=a（x+1）（x+3），再根據OA∶OC=1∶3可得點C的坐標（0，-3），于是代入“交點式”，可得a=-1，即a=-1，b=-4，c=-3。

（2）結合B，C點的坐標可得直線BC的解析式為y=-x-3，而經過點B且垂直于BC的直線BD解析式是y=x+3，將它與拋物線解析式聯立成方程組，可得D（-2，1）。

而將拋物線解析式配方成頂點式y=-（x+2）2 +1，可確認它的頂點是（-2，1）。即點D就是拋物線的頂點，于是AD=[2]，也就是圓A的半徑是[2]，而點A到y軸的距離是1，故圓A與y軸相交。

（3）首先思考圓上一點與O、G圍成的三角形，OG長35，若OG邊上高最大時，△QOG面積就取得最大。如圖9，如果想到過A點作OG的垂線，交圓A于第二象限內的點Q，交直線OG于H點，則△QOG面積最大。接下來的關鍵是求出QH的長，我們將QH分成兩個部分來思考，一是半徑AQ（上一問已求出），二是AH。可以在Rt△AOH中思考，利用△AOH∽△GOM，可以得到AH=[255]，這樣OH=[2]+[255]，此時△QOG面積的最大值為3+[3102]。

“形異質同”的反思：上述兩道試題看似“風馬牛不相及”，然而在分析最值時都涉及一種經驗，即過圓內一點到圓上任意一點的連線段中，以經過圓心時為最長。如圖10，點A到圓上任意一點的連線段中，經過圓心O的線段AB最長，相應地，我們還可得出此時AC是最短的。

二、解題研究與教學思考

1. 重視同類考題的歸類整理，積累同類題服務教學。

不少有經驗的教師都有自己的個性化教學素材，特別是會在電腦中分類整理一些專題素材，比如一些同類考題能及時歸類存檔，挖掘出圖10這樣的深層結構，便于隨時調用。在組織習題講評、專題復習、編制相關學案時，能很方便地檢索出相關試題，有時只要簡單改編或鏈接一下，就能使得講評課“增色”不少，很有深度。

2. 引導學生辨析“形異質同”題，做一題、會一類、通一片。

教師善于積累同類考題的一個好處就是，當預設講評某一類型的較難試題時，在講評之后可以及時鏈接同類考題（這就啟示我們平時應注意收集能體現圖10這樣結構的素材），讓學生在兩道同類試題解答之后辨析“形異質同”試題，使得他們識別“形異質同”題的“眼力”更強，可以達到做一題、會一類、通一片的解題效果。

3. 向學生傳遞回顧反思意識，學會整理自己的學習筆記。

教師在講評較難試題時，如果能及時安排解后回顧反思的教學環節，不但能使學生獲得更深刻的理解，也能讓理解較慢的學生獲得更多的時間進行“消化”，同時也是向學生傳遞解后回顧反思的意識。根據教學經驗，我們發現不少優秀的學生，總是能將平時練習、教師鏈接講評的一些同類考題及其結構歸類整理成他們個性化的學習筆記，有些甚至還及時整理成反思類的數學寫作，這些都可看成是促進自身深刻理解同類習題的一種有效措施。

此外，根據個人命題興趣，提出兩點命題建議。考題1是生活應用問題，敘述冗長，因學生缺少類似的生活場景、生活常識，可能并不知道考題的設計意圖、求解方向，理解題意有些困難，這與“好的試題”追求簡潔好懂、指令明確的高要求相比，還有一定的距離，作為時間緊、任務重的中考試卷，建議慎考這樣的閱讀量過大、理解題意困難的考題；考題2是一道“偽坐標系”考題，特別是最后一問的最值探究與拋物線毫無關聯，讓題干過早地“枯萎”、無效，這也是一種值得商榷的命題方式。

（作者為江蘇省如東縣洋口鎮古坳初級中學教師）

【參考文獻】

[1]儲秀梅. 同類跟進：試卷講評課的一種策略——以一道反比例函數把關題講評為例[J]. 中學數學，2017（5初中）：61-62.

[2]沈麗婧. 聚焦微專題：中考二輪復習的實踐與思考——以一組“關聯試題”復習為例[J]. 中學數學，2017（3初中）：36-37.