數(shù)學(xué)解題過程中集合思想的巧妙運(yùn)用分析

王天譽(yù)

摘 要：集合思想是學(xué)生在進(jìn)入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后的一個(gè)重要的概念。進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程后，首先需要了解的就是集合思想。集合知識大多偏抽象，同時(shí)符號術(shù)語較多，對于剛接觸高一數(shù)學(xué)的學(xué)生來講，這類抽象思想難以掌握。因此，通過對數(shù)學(xué)解題過程中集合思想的巧妙運(yùn)用進(jìn)行分析和研究，闡述如何巧妙運(yùn)用集合思想解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，為學(xué)生更好地理解數(shù)形結(jié)合思想提供一些參考和建議，同時(shí)也為學(xué)生提供數(shù)學(xué)解題工具。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題過程；集合思想；運(yùn)用分析

一、集合的概念

集合作為高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)之一，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中有著重要的地位，使用集合思想可以解決高中數(shù)學(xué)的一些問題。隨著新課改的推廣和應(yīng)用，運(yùn)用集合思想解決高中數(shù)學(xué)問題越來越常見。人教版的數(shù)學(xué)教材中要求使用集合語言解決函數(shù)、向量、概率問題等內(nèi)容。

集合是將一些或一類特定的對象放在一起，這類對象的特點(diǎn)通常易于區(qū)分。常用的集合表示形式有列舉法和描述法。集合在運(yùn)算的過程中，有交集、并集和補(bǔ)集三類運(yùn)算形式。不同集合間有不同的關(guān)系，常見的集合關(guān)系形式有子集、真子集和相等三種

形式[1]。

二、集合在高中數(shù)學(xué)中的地位和作用

集合是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是進(jìn)入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)課程后的第一概念，不僅在高中數(shù)學(xué)中有較強(qiáng)的重要性，同時(shí)也為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。集合既是函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是概率學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，有關(guān)函數(shù)的定義域和值域都需要用到集合定義和運(yùn)算。在概率學(xué)習(xí)的過程中，有關(guān)概率的限制條件可以轉(zhuǎn)化為集合形式進(jìn)行運(yùn)算。同時(shí)，集合不僅是數(shù)學(xué)必修5中的不等式知識的基礎(chǔ)，同時(shí)也是立體幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。集合的學(xué)習(xí)貫穿了高中數(shù)學(xué)的很多知識，運(yùn)用集合的思想不僅能夠更好地解決不同的數(shù)學(xué)問題，同時(shí)也能更好地完成問題的相互轉(zhuǎn)化，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加簡單[2]。

三、集合與高中數(shù)學(xué)各知識點(diǎn)的聯(lián)系

1.集合與函數(shù)

在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，通過集合思想，將兩個(gè)數(shù)集間的關(guān)系通過函數(shù)的概念和定義進(jìn)行買描述。在描述函數(shù)的過程中，例如，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、定義域、值域都涉及了集合的概念和運(yùn)算。

例1.f（x）=+的定義域（人教A版，必修1第17頁例1）

解：在運(yùn)用集合思想解題過程中，首先分析該函數(shù)有幾個(gè)定義域。若無特殊標(biāo)明該函數(shù)的定義域，那么函數(shù)的定義域指的就是該函數(shù)能夠滿足有意義且為實(shí)數(shù)的集合。

因此，該函數(shù)的定義域求解過程為：

①使有意義且實(shí)數(shù)x有意義的集合為>0？圯{x|x≥-3}

②使有意義且實(shí)數(shù)x有意義的集合為≠0？圯x+2≠0？圯{x|x≥-3}

所以，該函數(shù)的定義域就是{x|x≥-3}∩{x|x≠-2}？圯{x|x≥

-3，且x≠-2}

2.集合與概率

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，概率一般難度較大。對于學(xué)生來講，概率問題無法理清題目思路。在解題的過程中，可以通過集合思想進(jìn)行概率求解問題。在解析概率問題的過程中，可以將概率的一些限制條件轉(zhuǎn)化為集合思想進(jìn)行運(yùn)算，找到題目中概率間的相關(guān)關(guān)系，將這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的相關(guān)關(guān)系，從而進(jìn)行簡易運(yùn)算，將題目難度降低，從而更好地解決概率問題。

例2.某商場推出抽獎(jiǎng)活動時(shí)，規(guī)定購買到一定金額可以獲得一張抽獎(jiǎng)券一個(gè)抽獎(jiǎng)券對應(yīng)一個(gè)兌獎(jiǎng)號碼，可以參加商場推出的抽獎(jiǎng)活動。小明在商場抽獎(jiǎng)活動中獲得了兩張獎(jiǎng)券，如果兩次兌獎(jiǎng)活動分別中獎(jiǎng)的概率是0.05，求以下兩次抽獎(jiǎng)中以下事件的概率。（人教A版，選修2-3第54頁例3）

①都抽到某一指定號碼

②恰有一次抽到某一指定號碼

③至少有一次抽到某一指定號碼

解：設(shè)“第一次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號碼”為事件A，“第二次抽到某一指定號碼”為事件B，則“兩次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號碼”就是事件AB，事件A與事件B相互獨(dú)立。

①都抽到某一指定號碼

集合知識作為高中數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中具有重要的地位，同時(shí)也是解決許多數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。在集合思想的學(xué)習(xí)過程中，利用集合的幾類主要的運(yùn)算思想，通過掌握這些運(yùn)算思想，可以幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中解決某些較難的數(shù)學(xué)問題。若想掌握集合思想，還要對集合思想的運(yùn)算及符號等知識有準(zhǔn)確的了解和理解，同時(shí)能夠做到熟練運(yùn)用集合的性質(zhì)，完成各類數(shù)學(xué)問題的相互轉(zhuǎn)化。本文通過人教A版數(shù)學(xué)教材的幾個(gè)典型例題，具體分析如何利用集合思想分析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，同時(shí)闡述了集合思想與高中數(shù)學(xué)中各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，為集合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用提供了一些解題思路，能夠更好地加強(qiáng)學(xué)生對集合思想的理解[3]。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱秀花.高中集合教學(xué)研究[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2011.

[2]諶敢.高中數(shù)學(xué)新教材中集合思想的應(yīng)用[J].新課程研究，2012，3（251）：10-11.

[3]殷濤.數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用研究[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2017（1）：131.

編輯 段麗君