歐拉（Euler）常數存在性證明及其應用

徐軍

【摘要】本文在介紹歐拉（Euler）常數存在性的基礎上，結合實例給出了歐拉常數在解決某些數學問題中的應用，如求極限問題，求收斂級數和的問題。

【關鍵詞】歐拉常數 極限 收斂 應用

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）10-0123-01

一、歐拉（Euler）常數存在性證明

極限 存在，此極限稱為歐拉（Euler）常數，記為C。

證法 1 記

那么由不等式 ，有

因此xn嚴格單調遞減，故

又

因此xn單調遞減有下界，故 存在。

證法 2 考慮 ，則

對 用拉格朗日（Lagrange）中值公式，那么

因此 ，因 收斂，故 收斂，從而 也收斂。

又因為 ，故極限 （1+ +…+ -ln n）存在。

二、應用舉例

例 1 求 。

解：因為 ，其中C為歐拉常數，所以原式

= [ln2n+C+α2n-（ln n+C+αn）]= （ln 2+α2n-αn）=ln 2

其中， ，當n→∞時。

例 2 求級數 的和。

解：記 ，那么

Sn=（1+ - ）+（ + - ）+…（ + - ）=（1+ + -1）+（ + + - ）+…+（ + + - ）=（1+ +…+ ）-（1+ +…+ ）

由歐拉常數公式，有原式= （ln 3n+C+α3n-ln n-C-αn）= （ln 3+α3n-αn）=ln 3

其中， ，當n→∞時。

參考文獻：

[1]吉米·多維奇習題集[M].李榮棟譯.北京人民教育出版社，1978年版.

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社（二版）.

[3]同濟大學數學教研室主編.高等數學[M].北京：高等教育出版社（六版）.