數(shù)學(xué)教學(xué)：從學(xué)生出發(fā)，為學(xué)生設(shè)計(jì)

一、常規(guī)的教學(xué)：更多地基于教材

（一）教材解讀

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》一課的教學(xué)目標(biāo)之一，是認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，能判斷一個(gè)分?jǐn)?shù)是真分?jǐn)?shù)還是假分?jǐn)?shù)。該怎樣達(dá)到這樣的教學(xué)目標(biāo)呢？備課時(shí)，我認(rèn)真研讀了蘇教版教材，并且翻閱了人教版教材作為參考。

我發(fā)現(xiàn)，蘇教版教材中，例5（如圖1）明確告知學(xué)生把一個(gè)圓看作單位“1”，要求學(xué)生涂色表示出14、34、44、54；例6（如圖2）要求學(xué)生在圖中涂色表示出25、105、135；在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生將得到的分?jǐn)?shù)分類，得出真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的概念。人教版教材的設(shè)計(jì)也基本相同：例1同樣是把一個(gè)圓看作單位“1”，用分?jǐn)?shù)表示出涂色部分，得到13、34、56，不同的是得出分?jǐn)?shù)后直接比較分子和分母的大小，得出真分?jǐn)?shù)的概念；例2則出示三組已經(jīng)涂色的圖形，分別表示分?jǐn)?shù)44、74、115，然后比較分子和分母的大小，得出假分?jǐn)?shù)的概念。

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)

在教材解讀與比較的基礎(chǔ)上，我依據(jù)蘇教版教材設(shè)計(jì)教學(xué)：

依次教學(xué)例5、例6，然后引導(dǎo)學(xué)生比較例5、例6，在此基礎(chǔ)上概括真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的意義（如圖3）。

接著，給出一些分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生分辨是不是假分?jǐn)?shù)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生沒(méi)什么錯(cuò)誤。再教學(xué)“練一練”（如圖4），卻發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生出現(xiàn)了問(wèn)題：對(duì)于第三、四小題，寫出了78、66這樣的分?jǐn)?shù)。反饋時(shí)，我詢問(wèn)學(xué)生是怎樣想的。學(xué)生回答：“第三個(gè)圖形是平均分成8份，表示這樣的7份，所以是78。”我著重說(shuō)明：“這里是將一個(gè)長(zhǎng)方形看作單位‘1’，平均分成4份，表示這樣的7份，所以分母是4。”但是學(xué)生不能理解：“明明是兩個(gè)長(zhǎng)方形，平均分成8份，分母為什么是4？”

（三）教學(xué)反思

從學(xué)生課堂的表現(xiàn)來(lái)看，我課前預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)沒(méi)有實(shí)現(xiàn)。學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢？問(wèn)題究竟在哪里？

我想到，假分?jǐn)?shù)仍然是一個(gè)分?jǐn)?shù)，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)就應(yīng)該從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)，描述其意義就會(huì)牽涉單位“1”的問(wèn)題，但是學(xué)生恰恰不知道將誰(shuí)看作單位“1”——例5、例6的設(shè)計(jì)已經(jīng)直接告知學(xué)生把一個(gè)圓看作單位“1”，學(xué)生只要涂色表示出分?jǐn)?shù)就行了，即只要關(guān)注分?jǐn)?shù)的分子，數(shù)出相應(yīng)的份數(shù)就行了。可見(jiàn)，這里的教學(xué)忽略了將誰(shuí)看作單位“1”，忽略了假分?jǐn)?shù)作為一個(gè)分?jǐn)?shù)的意義——雖然關(guān)注了分子和分母的關(guān)系，但是忽略了分母的意義。而這，恰恰是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。

進(jìn)而，我發(fā)現(xiàn)，上述問(wèn)題歸根到底是因?yàn)椋嗟貐⒖剂私滩暮徒虒W(xué)內(nèi)容，而沒(méi)有研究學(xué)生的學(xué)習(xí)情況：學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維方式等。

二、改進(jìn)的教學(xué)：更多地基于學(xué)情

（一）學(xué)情分析

1.學(xué)生的已有知識(shí)有哪些？

教學(xué)一個(gè)新的概念時(shí)，需要分析學(xué)生已經(jīng)具有的知識(shí)。小學(xué)階段有關(guān)分?jǐn)?shù)知識(shí)的教材編排序列是：從三年級(jí)開(kāi)始初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，先認(rèn)識(shí)幾分之一，再認(rèn)識(shí)幾分之幾，到五年級(jí)時(shí)學(xué)會(huì)將一個(gè)整體看作單位“1”，知道分?jǐn)?shù)都是將單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。也就是說(shuō)，五年級(jí)學(xué)生已經(jīng)知道了分?jǐn)?shù)的意義、分子與分母表達(dá)的含義。

除了上述已有知識(shí)，對(duì)于假分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，還應(yīng)該激活哪些已有知識(shí)呢？考慮到假分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的核心知識(shí)，我認(rèn)為還應(yīng)激活兩個(gè)已有知識(shí)，即用畫圖的方式表示一個(gè)分?jǐn)?shù)和同分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算。通過(guò)相關(guān)的練習(xí)，可以呈現(xiàn)出學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)情況，使學(xué)生產(chǎn)生矛盾沖突，為更好地同化新知識(shí)作準(zhǔn)備。這樣雖然不能完全將假分?jǐn)?shù)的知識(shí)同化，但是可以將已有圖式進(jìn)行修改并加以重建，達(dá)到對(duì)假分?jǐn)?shù)知識(shí)的深刻理解。

2.學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)是什么？

美國(guó)心理學(xué)家費(fèi)斯廷格在其認(rèn)知失調(diào)理論中談到，一個(gè)人的行為與自己先前一貫的對(duì)自我的認(rèn)知產(chǎn)生分歧時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生不舒適感、不愉快的情緒。數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生接觸到的新知與自己原有的舊知不協(xié)調(diào)時(shí)，同樣容易造成學(xué)習(xí)上的困難和心理上的抵觸。那么，假分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)造成了學(xué)生怎樣的認(rèn)知失調(diào)呢？

其一，在學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)之前，學(xué)生遇到的分?jǐn)?shù)中的單位“1”永遠(yuǎn)只有“一個(gè)”，即要么是一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位，要么是一堆物體看成的一個(gè)整體；從來(lái)沒(méi)有遇到過(guò)單位“1”有兩個(gè)的情況。突然出現(xiàn)含有兩個(gè)單位“1”的圖形，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示涂色的部分，與學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生沖突。

其二，在學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)之前，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)分子和分母相等的假分?jǐn)?shù)，但是從來(lái)沒(méi)有遇到過(guò)分子大于分母的假分?jǐn)?shù)。突然出現(xiàn)一個(gè)圖形，讓學(xué)生寫出一個(gè)假分?jǐn)?shù)，與學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生沖突。

其三，假分?jǐn)?shù)中分子大于分母的情況，是將一個(gè)單位“1”平均分成若干份，表示更多的份數(shù)。畫圖表示時(shí)，一個(gè)單位“1”不夠了，要增加一個(gè)或幾個(gè)單位“1”。 此時(shí)學(xué)生不能理解一幅圖中到底誰(shuí)是單位“1”。

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)

在學(xué)情分析的基礎(chǔ)上，我依據(jù)學(xué)生的已有知識(shí)和認(rèn)知難點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)：

課前布置“預(yù)習(xí)單”：（1）把一個(gè)圓看作單位“1”，分別涂色表示下面的分?jǐn)?shù)：25、14、34、44。（2）5個(gè)14是（）（），它的意義是表示（），你能畫圓表示這個(gè)分?jǐn)?shù)嗎？

課上先反饋“預(yù)習(xí)單”的第（1）題：讓學(xué)生在投影上展示自己的作品，并說(shuō)出每個(gè)分?jǐn)?shù)的意義。學(xué)生能說(shuō)出“把一個(gè)圓平均分成幾份，表示這樣的幾份，就是幾分之幾”的理解。我提問(wèn)：34的分?jǐn)?shù)單位是什么？有幾個(gè)14？44呢？學(xué)生都能正確回答。

再重點(diǎn)反饋“預(yù)習(xí)單”的第（2）題：讓學(xué)生說(shuō)出分?jǐn)?shù)及其意義，并在投影上展示自己的作品。學(xué)生說(shuō)出“5個(gè)14是54，它是把一個(gè)圓看作單位‘1’，平均分成4份，表示這樣的5份”，然后展示了一些作品。由此，我展開(kāi)引導(dǎo)——

師（展示分別如圖5、圖6、圖7所示的三個(gè)學(xué)生作品，指著圖5中多出的一份）這部分表示多少？

生這部分是14。

師你能確定這是14嗎？（將四分之一圓補(bǔ)成半圓）如果我這樣再畫一部分，這部分陰影就表示多少？

生12。

師照這樣，我還能怎么畫？

（教師將四分之一圓補(bǔ)成四分之三圓。）

生13。

師照這樣的想法，陰影部分還可能是15、16等等。要想確定是14，應(yīng)該怎么辦？

生再畫一個(gè)同樣大小的圓。

師（將四分之一圓補(bǔ)成一個(gè)完整的圓）現(xiàn)在你能確定這是14嗎？

生能。

師你把誰(shuí)看作單位“1”？為什么還要再畫一個(gè)單位“1”？

（學(xué)生回答。）

師請(qǐng)你完整地說(shuō)一說(shuō)：我們是怎樣表示54的？

生把一個(gè)圓看作單位“1”，平均分成4份，表示這樣的4份；再畫一個(gè)單位“1”，平均分成4份，表示這樣的1份。

師（展示分別如圖8、圖9、圖10所示的三個(gè)學(xué)生作品）為什么寫出一個(gè)加法算式呢？

生我想，54=44+14，而44=1，不夠，要再借一個(gè)14，所以再畫一個(gè)圓，并把它平均分成4份，表示這樣的1份。

師這些同學(xué)想到了同分母分?jǐn)?shù)加法，他們是把54看成14+44來(lái)做的。（稍停）比較這三幅圖，有什么相同點(diǎn)？

生都是將一個(gè)圓看作單位“1”。

至此，學(xué)生對(duì)假分?jǐn)?shù)有了一定的感知。接著，我出示鞏固練習(xí)：畫圖表示64、84。學(xué)生畫完后匯報(bào)畫法：“把一個(gè)圓看作單位‘1’，平均分成4份，表示這樣的4份；再畫一個(gè)單位‘1’，平均分成4份，表示這樣的2份。”我提問(wèn)：“為什么再畫一個(gè)圓？”學(xué)生也都能正確回答。

在此基礎(chǔ)上，課件出示圖11，提出問(wèn)題：“剛剛我們通過(guò)畫圖認(rèn)識(shí)了這三個(gè)分?jǐn)?shù)，它們有什么相同之處呢？”學(xué)生回答：“三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相同。”“分?jǐn)?shù)單位相同。”“畫圖時(shí)都要再畫一個(gè)單位‘1’。”“分子和分母相等或者比分母大。”我引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出假分?jǐn)?shù)的意義。

然后，再出示鞏固練習(xí)：看圖（圖12）寫出涂色部分表示的分?jǐn)?shù)。學(xué)生回答正確并說(shuō)明了理由。如第二幅圖，學(xué)生說(shuō)：“把一個(gè)長(zhǎng)方形看作單位‘1’，平均分成3份，表示這樣的3

份；再畫一個(gè)單位‘1’，平均分成3份，表示這樣的3份；再畫一個(gè)單位‘1’，平均分成3份，表示這樣的1份。合起來(lái)是73。”我提問(wèn)：“為什么要畫出3個(gè)單位‘1’？”學(xué)生回答也完全正確。

通過(guò)上述教學(xué)，學(xué)生深刻理解了假分?jǐn)?shù)的意義。這時(shí)，再做教材“練一練”的第三、四小題，學(xué)生正確率很高。

（三）教學(xué)反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指

出：“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生。”賁友林老師說(shuō)過(guò)：“將教師教學(xué)用書中的課時(shí)教學(xué)任務(wù)參考作為依據(jù)，這本身并沒(méi)有錯(cuò)，遺憾的是忽略了‘參考’二字。事實(shí)上，一節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的確定，既要考慮教材的預(yù)設(shè)，又要考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。”

對(duì)于本節(jié)課，常規(guī)的教學(xué)設(shè)計(jì)完全按照教材的內(nèi)容安排，想當(dāng)然地認(rèn)為只要解決了分子和分母的關(guān)系，假分?jǐn)?shù)的教學(xué)任務(wù)就順利完成了。但是，教師從成人視角設(shè)想的重點(diǎn)不是學(xué)生兒童視角下的難點(diǎn)，導(dǎo)致實(shí)際教學(xué)效果與預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)大相徑庭。這給我們的啟發(fā)是，教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生出發(fā)，為學(xué)生設(shè)計(jì)，也就是要以學(xué)為中心，了解學(xué)情，研究學(xué)情，順應(yīng)學(xué)情，發(fā)展學(xué)情。而要做到這一點(diǎn)，就要關(guān)注學(xué)生已經(jīng)知道了什么，可能達(dá)到怎樣的認(rèn)識(shí)水平，尤其是發(fā)展過(guò)程中的難點(diǎn)是什么，據(jù)此進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

對(duì)于本節(jié)課，學(xué)生知道分?jǐn)?shù)的意義，會(huì)畫圖表示分?jǐn)?shù)，會(huì)計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)加法；容易理解假分?jǐn)?shù)中分子與分母的關(guān)系，難以理解的是假分?jǐn)?shù)的意義，歸根結(jié)底是對(duì)單位“1”的處理。改進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)以學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。讓學(xué)生經(jīng)歷說(shuō)一說(shuō)、畫一畫、議一議的過(guò)程，從而獲得發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，并因此暴露了學(xué)習(xí)中的各種問(wèn)題、困難和矛盾，進(jìn)而在實(shí)踐、思辨中同化、順應(yīng)，最終深刻地理解假分?jǐn)?shù)的意義。經(jīng)歷這樣的過(guò)程，不僅可以讓學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

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