把“簡單的內容”教得深刻

摘要：數學教材中很多知識內容從表面上看并不復雜，學生一看就“懂”，一學就“會”，也能簡單運用。但是，如果站在深度學習、教書育人的角度思考，就要求教師把“簡單的內容”教得深刻。為此，要理解課標與教參的教學要求和建議，系統認識教學內容（課題），深入分析問題情境，適當拓展例、習題，充分體現學生自己的理解。

關鍵詞：知識系統問題情境例題變式學生主體函數的表示

作為數學教研員，筆者經常聽評常態的數學課。在聽課過程中筆者經常發現，教師將教材上的內容簡單直接地呈現，按部就班地講解，讓學生一點一點地接受；整個教學過程體現不出教師對教學內容的個性化理解和學生對學習內容的理解程度，也缺乏教師對教學內容的深度加工和促進學生深度理解的方法手段。這樣的課聽下來，總感覺與學生自己看書自學沒有多大區別，教不如不教。筆者多次在聽課后詢問授課教師同樣的問題：這節課你講與不講、講與讓學生自學有什么區別？教師的教學價值體現在哪些方面？授課教師多是說一些培養學生能力的套話、空話。這樣的課上，教師把“簡單的內容”教得簡單了：就知識教知識，沒有對教學內容進行多維度挖掘；教學目標單一，沒有發揮出數學的育人功能。

數學教材中很多知識內容從表面上看并不復雜，就是一個定義、一個公式或一個性質等。對此，學生一看就“懂”，一學就“會”，也能簡單運用——解決一些簡單問題。但是，這種“對著謎底理解謎面的方法，很容易理解謎面的意思，卻無助于猜謎能力的提高”。比如，對于“函數的表示方法”，蘇教版高中數學教材一共介紹了三種表示方法（列表法、圖像法、解析式法）和兩道例題；學生理解這三種表示方法，會做這兩道例題，并不是難事。但是，如果站在深度學習、教書育人的角度思考，“簡單的內容”教學并不簡單：函數還有其他的表示方法嗎？教材為什么介紹這三種表示方法？這三種表示方法各有什么優缺點？在什么情境下選擇哪種表示方法？它們之間能相互表示嗎？本節內容的學習能滲透哪些數學思想方法？能培養學生的哪些數學能力？教材給出的例題的功能是什么？還能作怎樣的拓展？等等。這些問題都是教師需要深入思考的。這就要求教師深入“理解數學、理解學生、理解教學”，把“簡單的內容”教得深刻。

一、理解課標與教參的教學要求和建議

教學需要經驗，更需要依據，需要標準。教到什么程度，如何教，既要根據以往教學的經驗來判斷，更要依據課程標準與教學參考書對教學內容的要求和對教學方式的建議（常規教學也要考慮考試大綱）來決定。教師要結合具體教學內容和總體課程目標，對課程標準與教學參考書進行反復研磨和深入解讀，從而確定教學目標、教學重點、教學難點、教學方法、教學策略、教學過程等。教師還要習慣于查閱課程標準與教學參考書，結合教學實踐，理解教學。

對于“函數的表示方法”，課程標準提出的總的要求是：“在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖像法、列表法、解析法）表示函數。”“通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用。”教學參考書提出的更具體的要求和建議是：“理解同一個函數可以用不同的方法表示。”“列表法、解析法和圖像法是三種常用的函數表示方法，在教學中應引導學生多舉一些生活或其他學科中的例子，以加深對函數表示法的理解。”“通過實例，使學生感受到函數就在身邊，體會到數學知識的廣泛應用性，培養學生的抽象概括能力及解決問題能力。”“函數的三種表示法具有內在的聯系，在一定條件下，是可以相互轉化的，教師應根據例題進行適當的示范和講解。”“了解簡單的分段函數的特點及應用。”可以說課程標準與教學參考書的要求和建議是多角度、多層次的：既明確了教學目標，提出了對知識掌握和能力培養的要求，也提供了教學方法。不認真閱讀課程標準與教學參考書，很難有如此全面的“經驗”。

二、系統認識教學內容（課題）

對于任何一節課的教學內容（課題），都不能孤立地看待，而要放入章節、教材中從整體與系統的角度去認識、理解、把握、設計。“函數的表示方法”是“函數的概念、定義域、值域及圖像”之后，“函數的性質”之前的學習內容。有了函數的概念，就要研究其表示方法（不會表示函數，其他一切都無從研究起）；有了函數的表示方法，進而研究函數的性質。就像有了集合的概念，需要研究集合的表示，進而研究集合的運算（性質）一樣，這是研究數學概念（對象）的基本套路。所以，這一課題的教學時機是自然的、恰好的，教學中要讓學生理解這種研究思路和研究方法，學會自己進行思考，提出研究問題。

對于一節課的教學內容（課題），還要“咬文嚼字”，深入理解；并且把靜態的文本內容（如情境、問題、例子、結論等）轉化成動態的思維過程，讓學生從中學習數學知識與方法。“函數的表示方法”中，“表示方法”是重要的，因此這節課的重點是三種表示方法，必須理解清楚、掌握到位；但是，不會表示何談方法，有了方法還要會表示，因此“函數的表示”也是重要的。作為教材，選擇最直接的三種情境，體現三種不同的表示方法當然是恰當的，但是作為教學，則不能只呈現教材上的三個例子，還應該給學生更多的例子，讓學生選擇方法表示其中的函數關系，理解不同的表示方法，在不同的表示中概括、抽象出這三種最常用的表示方法。此外，從整個高中數學學習過程看，學生通常缺乏解決應用題的能力，其主要原因是缺乏建模能力，而建模能力主要表現在表示出函數關系上。所以，本節課以及后續教學中，還要重視“函數的表示”，讓學生會選擇合適的方法表示函數。

三、深入分析問題情境

問題情境是知識的載體與探究的動因，有助于學生充分理解知識，因此知識的教學離不開問題情境的設置。問題情境往往具有比較復雜的內涵，教材設置的問題情境更是隱含比較豐富的用意。對此，教師需要深度分析，從而引導學生充分理解、掌握知識。

對于“函數的表示方法”，教材一脈相承地沿用了前一小節“函數的概念和圖像”開頭的三個問題情境。第一個問題情境以表格形式呈現了年份與人口之間的函數關系，如表1所示；第二個問題情境以解析式形式呈現了物體下落距離與下落時間之間的函數關系，即y=4.9x2；第三個問題情境以圖像形式呈現了時刻與氣溫之間的函數關系，如圖1所示。

第一個問題情境中的列表法簡潔明了，對應關系明確，函數的“輸入值”與“輸出值”一目了然；第二個問題情境中的解析法概括全面，對應關系精確，由任一時刻都可以計算出距離——這也是學生最熟悉的表示方法；第三個問題情境中的圖像法能直觀形象地反映函數值隨自變量值變化的趨勢。而且，第一個問題情境可以用圖像法表示，但是很難用解析法表示；第二個問題情境可以用圖像法表示，但是很難用列表法表示；第三個問題情境既不好用解析法表示，也很難用列表法表示。所以，三種表示方法各有優缺點，都有存在的必要性；對于不同的問題、不同的需要，應該選擇不同的表示方法。比如，教材例1呈現的是“購買某種飲料x聽，所需錢數為y元”的問題情境，用三種表示方法都可以。教學中，要讓學生分別用不同的表示方法表示其他兩個函數關系，從而體會各種表示方法的優缺點，明白上述道理；而不能通過教師的介紹來強調。此外，在三種表示的相互轉化為也體現了數形結合思想和轉化思想，為后續學習“函數與方程”作好鋪墊。

四、適當拓展例、習題

教學要“用教材教”，而不是“教教材”。教師要基于學生的實際水平，從促進學生的深度學習和思維發展的角度出發，對教材內容（尤其是例、習題）進行適當的變式拓展，以增強學生對相關概念、原理的理解與應用。

對于“函數的表示方法”，在學生學習了函數的三種表示方法以及分段函數的概念之后，教師可以提出“狄利克雷函數D（x）=1，x是有理數，0，x是無理數”的表示方法問題，擴大學生的見識。在學生學習了教材中的例2“畫f（x）=|x|的圖像”之后，教師可以增加變式1“畫函數f（x）=|x+1|的圖像”。這樣做一方面是為了考查學生能否對函數f（x）=|x|的分段畫法進行遷移（實際上，很多學生對|x|會分x>0，x=0，x<0討論，但是對|x+1|不會分x+1>0，x+1=0，x+1<0討論），從而檢測學生是否真的理解函數f（x）=|x|的分段畫法；另一方面還可以引導學生發現圖像平移的方法，從而由模仿上升到創造。學生理解變式1后，教師還可以給出變式2“畫函數f（x）=x|x-1|的圖像”，讓學生發現其是由兩個二次函數各取一部分構成的，從而拓展對分段函數的認識，減少思維定勢。學生掌握變式2后，教師可以繼續提出要求較高的變式3“畫函數f（x）=|x|+|x+1|的圖像”，引導學生基于函數f（x）=|x|與f（x）=|x+1|圖像的畫法，進一步分類討論、去絕對值，欣賞到不一樣的分段函數圖像，體會到分段函數中的思想方法。而且，變式2與變式3中的函數都是后續學習中重要的函數模型，在此借助分段函數的學習，進行適當的滲透，既有利于對分段函數的理解，又有利于后續的函數學習。當然，這樣的拓展需要適度，不能偏離目標中心。比如，“已知f（x+1）的解析式，求f（x）的解析式”的問題不涉及函數表示方法的轉換、比較，只是對解析法的深度認識，而且具有一定的難度，需要較高水平的抽象、整體思維，因此不合適在本節課作過多的拓展講解。

五、充分體現學生自己的理解

教學不只是“教課程”，而且是“教學生”；要由“教書”變成“育人”。要把“簡單的內容”教得深刻，就要在教學過程中促進學生對學習活動的參與，體現學生對學習內容的理解。很多教師在教學中常常以自己的理解代替學生的理解，甚至認為自己講解過后學生就應該理解，也應該與自己理解得一樣。但是，事實不是這樣的：學生都有自己不同的學習經驗，有自己不同的認知基礎，所以會有自己不同的理解、個性化理解（即使內容很簡單或者經過了教師的講解）。所以在教學過程中，教師要讓學生充分展示自己的理解，使學生從不同的角度充分理解。在此基礎上，教師要處理好預設與生成關系，基于學生的理解及時調整預設，有針對性地實施教學，促進學生進一步理解，讓學生走向深刻。

同樣是教學“函數的表示方法”，甲教師講解自己對“畫函數f（x）=|x|的圖像”問題的處理：從去絕對值的角度思考，即轉化為f（x）=x，x>0，0，x=0，-x，x<0，然后畫出圖像。由此，甲教師讓學生板演“畫函數f（x）=|x+1|的圖像”。但是，很多學生可能還沒有理解f（x）=|x|到底是什么函數，還沒有感受到“分段”的意義，也不知道f（x）=|x+1|怎樣去絕對值，所以無所適從，不知如何畫。而教師乙則讓四位學生到黑板上畫函數f（x）=|x|的圖像，結果大不一樣：第一位學生將f（x）=|x|轉化為f（x）=x，x>0，0，x=0，-x，x<0，畫其圖像；第二位學生將f（x）=x在x軸下方的圖像對折上去；第三位學生根據f（x）=|x|的圖像關于y軸對稱畫；第四位學生用描點法畫f（x）=|x|的圖像。于是，乙教師分別肯定了學生的理解，并在學生理解的基礎上進行講解，使學生既肯定了自己的想法，也理解了別人的想法，更優化了自己的解法。此時，再讓學生畫函數f（x）=|x+1|的圖像，學生基本沒有錯誤。可見，雖然教師習慣于用分段的方法解決，但是學生有自己不同的理解；而順著學生的理解展開教學，可以取得更好的效果。