數(shù)學(xué)教學(xué)的四“然”境界

我國(guó)近代著名學(xué)者王國(guó)維曾經(jīng)提出，成大事業(yè)、大學(xué)問者必須經(jīng)過三重境界：“‘昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路’，此第一境也；‘衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴’，此第二境也；‘眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處’，此第三境也?！蔽艺J(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)有四重關(guān)于“然”的境界：第一重是“知其然”的境界，就是教知識(shí)，教解題，反復(fù)訓(xùn)練，不管什么題目，先讓學(xué)生做上幾遍，混個(gè)臉熟；第二重是“知其所以然”的境界，就是教原理，教方法，注重教學(xué)理論的運(yùn)用，不是就題講題，而是通過題目傳授方法，并螺旋上升和提高；第三重是“知其所以不然”的境界，就是教狀態(tài)，將數(shù)學(xué)問題生活化，讓學(xué)習(xí)真的發(fā)生；第四重是“超然”的境界，就是超乎本身，“忘乎所以”，上升到一種文化，甚至超出文化。

“算24點(diǎn)”是一種數(shù)學(xué)游戲，據(jù)傳是由華人孫四杰先生發(fā)明的，其規(guī)則是：在一副撲克牌中任意抽取四張，利用牌面所表示的數(shù)（約定A為1，J為11，Q為12，K為13，大小王均為0），每個(gè)數(shù)都要用并且只能用一次，通過一些數(shù)學(xué)運(yùn)算（如加、減、乘、除、乘方等），使結(jié)果等于24。比如，如果抽出的數(shù)是3、8、8、9，那么算式可以是（9-8）×8×3=24或3×8÷（9-8）=24等。它的實(shí)質(zhì)是整數(shù)（有理數(shù)）的混合運(yùn)算，可以考查學(xué)生運(yùn)算的熟練程度以及對(duì)數(shù)據(jù)的敏感性，提高學(xué)生的計(jì)算能力；還可以集中學(xué)生的注意力，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。因此，這種游戲可以被運(yùn)用在很多學(xué)段的數(shù)學(xué)教學(xué)中。比如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)《混合運(yùn)算》單元后設(shè)置了“算24點(diǎn)”的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)“三步計(jì)算式”問題中也用到了“算24點(diǎn)”作引入載體，蘇科版和北師大版初中數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)“有理數(shù)的混合運(yùn)算”小節(jié)后都又設(shè)置了“算24點(diǎn)”的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)。其實(shí)，高中數(shù)學(xué)中也有新的運(yùn)算引入（如排列組合），教學(xué)中也可以用到“算24點(diǎn)”。甚至，某年某省公務(wù)員考試中也出現(xiàn)了“算24點(diǎn)”。

下面，以“算24點(diǎn)”為例，說明數(shù)學(xué)教學(xué)的四重境界，同時(shí)思考我們應(yīng)該和能夠追求什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)。需要指出的是，這里的“算24點(diǎn)”教學(xué)跨越了好幾個(gè)學(xué)段，而不同的學(xué)段中有不同的要求。

一、平鋪直敘的“知其然”境界

教學(xué)中，一般教師的做法是啟而不發(fā)，將算型一股腦兒地拋給學(xué)生，讓學(xué)生記住，再反復(fù)訓(xùn)練。比如，給出2、3、4、6四個(gè)數(shù)后，一般會(huì)首先介紹2×6+3×4=24、（3-2）×4×6=24和（6-3）×2×4=24等幾種算法，然后指出最常見的方法就是構(gòu)造24的因數(shù)3、8、4、6、2、12；在此基礎(chǔ)上，再簡(jiǎn)單地通過幾道例題加以強(qiáng)化。水平比較“高”教師的還能總結(jié)出最為廣泛的六種基本算型（用a、b、c、d表示抽出的四個(gè)數(shù)）：（1）（a+b）×（c-d）型，如（1+3）×（10-4）=24；（2）（a+b）÷c×d型，如（10+2）÷3×6=24；（3）（a+b-c）×d型，如（6+7-1）×2=24；（4）（a-b÷c）×d型，如（5-6÷2）×12=24；（5）a×b+c-d型，如11×3+1-10=24；（6）（a-b）×c+d型，如（7-4）×5+9=24。更有甚者，還能給出在某幾種運(yùn)算下一共有多少種組合，其中有多少種組合算不出24，并讓學(xué)生記住這些數(shù)組。

我認(rèn)為，不管教師總結(jié)出多少種算型和組合，也不管教師在這些算型和組合下如何讓學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，都算是“灌輸”。這是日常教學(xué)中許多教師的實(shí)際教學(xué)狀態(tài)，但是，這是淺嘗輒止的教學(xué)狀態(tài)。

二、循序漸進(jìn)的“知其所以然”境界

有些教師能夠在上述基礎(chǔ)上，通過具體例題逐步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出相應(yīng)算型的由來。這是一種更高的境界。建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)過程是對(duì)知識(shí)意義的建構(gòu)過程，學(xué)習(xí)者是在與周圍環(huán)境相互作用的過程中，通過同化和順應(yīng)兩種方式促進(jìn)自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展的。學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是以圖式為基礎(chǔ)，通過同化和順應(yīng)兩種方式形成的一種認(rèn)知平衡。所謂“圖式”是指?jìng)€(gè)體對(duì)世界的直覺理解和思考方式；“同化”是指?jìng)€(gè)體對(duì)刺激輸入過濾或改變的過程，也就是說，個(gè)體在感受刺激時(shí)，把它納入頭腦中原有的圖式之內(nèi)，使其成為自身的一部分；“順應(yīng)”是指外部環(huán)境發(fā)生變化而原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)無法同化新環(huán)境提供的信息時(shí)，所引起的個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)改造與重組的過程，即個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)因外部刺激的影響而發(fā)生改變的過程；“平衡”是指?jìng)€(gè)體通過自我調(diào)節(jié)機(jī)制，使得認(rèn)知發(fā)展從一個(gè)平衡狀態(tài)向另一個(gè)平衡狀態(tài)過渡的過程。通俗地講，把認(rèn)知結(jié)構(gòu)看成一個(gè)筐，將拿來的東西放進(jìn)筐內(nèi)，正好放得進(jìn)去，這就是同化；筐內(nèi)的東西增加了，新的東西放不進(jìn)去了，就要把筐編大一點(diǎn)，或重新編一個(gè)筐，直至能把新的東西放進(jìn)去，這就是順應(yīng)。創(chuàng)設(shè)條件不斷進(jìn)行同化和順應(yīng)，促使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化，是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該追求的“新常態(tài)”。

如果在適當(dāng)同化訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，教師再設(shè)計(jì)一些問題，使學(xué)生必須通過順應(yīng)的方式促進(jìn)自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，則更有意義和價(jià)值。比如，在整數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，再設(shè)計(jì)一組數(shù)：5、5、5、1。此時(shí)，利用以上策略就很難算出24。因此，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式不能解決問題。面對(duì)新的刺激，學(xué)生必須對(duì)原有圖式進(jìn)行修正或重建。能否將運(yùn)算從整數(shù)范圍擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)范圍呢？這是一個(gè)跨度較大的過程。在這樣的啟發(fā)下，學(xué)生或許可以得到如下解法：5×5-15=24。從整數(shù)運(yùn)算狀態(tài)到分?jǐn)?shù)運(yùn)算狀態(tài)，這就是順應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，再設(shè)計(jì)一組數(shù)：7、7、3、3。解決起來就簡(jiǎn)單多了：7×3+37=24。前后都是分?jǐn)?shù)運(yùn)算狀態(tài)，這就是同化。當(dāng)然，這樣設(shè)計(jì)僅僅是數(shù)量上的改變。如果教師還能帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出一些一般化的規(guī)律（算型），那就是較高的境界了。

教師還必須不斷地創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生不斷地在“同化—順應(yīng)—同化—順應(yīng)”的過程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)。比如，在上述基礎(chǔ)上，再給出一組數(shù)：1、3、4、6。此時(shí)，只進(jìn)行加減乘除運(yùn)算便行不通了。因此，學(xué)生又必須修正或重建自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生可以進(jìn)行如下嘗試：4×6×13=24。在加減乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)上拓展到乘方（指數(shù)）運(yùn)算，這又是一次順應(yīng)的過程。在此基礎(chǔ)上，還可以再給出一組數(shù)：10、10、4、4。此時(shí)，學(xué)生還需要修正或重建自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可以進(jìn)行如下嘗試：（10×10-4）÷4=24。這里，運(yùn)算方式并沒有超出加減乘除的范圍，但是運(yùn)算內(nèi)容顯然已經(jīng)超出“九九乘法表”的范圍；相對(duì)于前面的運(yùn)算，這也是一個(gè)順應(yīng)的過程。

三、進(jìn)一步探究的“知其所以不然”境界

比較而言，“知其然”是一種低的境界，“知其所以然”是一種高的境界，而“知其所以不然”將是一種更高的境界。問題意識(shí)是指學(xué)生在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中意識(shí)到一些難以解決的實(shí)際或理論問題時(shí)所產(chǎn)生的一種困惑、探究的心理狀態(tài)。心理學(xué)研究表明，問題意識(shí)驅(qū)使學(xué)生積極思維，不斷提出問題和解決問題，而沒有問題的思維是膚淺的。因此在課堂教學(xué)中，教師要注重激發(fā)學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)。此外，“在問題解決中學(xué)習(xí)”是指在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，聯(lián)系實(shí)際提出問題，然后通過個(gè)人、小組搜集材料、提取信息、處理信息，探索解決問題的方法。它是建構(gòu)主義理論所提倡的一種教學(xué)方法。因此在課堂教學(xué)中，教師不僅要培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，而且要努力創(chuàng)設(shè)各種問題情境，鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層面地深入探索問題，用疑問激活學(xué)生的思維，幫助他們不斷地挑戰(zhàn)自我，深入地理解知識(shí)。

同樣是“算24點(diǎn)”的教學(xué)，教師可以提出或者啟發(fā)學(xué)生提出“為什么不算23點(diǎn)或25點(diǎn)，偏偏要算24點(diǎn)”的問題，然后組織學(xué)生經(jīng)過充分的思考、討論，將10到30之間各個(gè)整數(shù)的所有因數(shù)寫出來觀察，由此發(fā)現(xiàn)其中24的因數(shù)最多（有8個(gè)），因而被算出來的可能性最大，從而得到“‘算24點(diǎn)’的游戲設(shè)計(jì)是科學(xué)的（而不是隨意的）”的結(jié)論。如此“知其所以不然”的探索，并不花多少時(shí)間，卻需要“上乘”的功夫。探究24點(diǎn)的設(shè)置規(guī)律，看似信手拈來，實(shí)則是對(duì)“數(shù)學(xué)問題生活化，引導(dǎo)學(xué)主動(dòng)地探索、發(fā)現(xiàn)、實(shí)踐和體驗(yàn)，幫助學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體”這一理念的認(rèn)真詮釋。

四、不可多遇的“超然”境界

創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)。在教學(xué)中，教師要開闊視野，通過拓展探究，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考。這樣，往往會(huì)有意想不到的效果，甚至超出數(shù)學(xué)教學(xué)，到達(dá)一種“超然”的狀態(tài)，讓學(xué)生終生難忘，終身受用。

教學(xué)“階層運(yùn)算”（n！=1×2×3×…×（n-1）×n，0！=1）時(shí)，筆者同樣帶領(lǐng)學(xué)生“算24點(diǎn)”。通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的題目，在學(xué)生因小有成就而沾沾自喜的時(shí)候，筆者提出了新的問題：四個(gè)0怎樣能算出24？學(xué)生一下子傻眼了：根據(jù)直覺，肯定算不出來，但是，作為老師給出的題目，肯定能算出來，不過，方法肯定很獨(dú)特。在激烈的討論中，學(xué)生絞盡腦汁、苦思冥想。最后，在筆者的啟發(fā)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了答案：（0！+0！+0！+0！）！=4！=24。在驚喜之余，學(xué)生更多的是感嘆。接著，筆者點(diǎn)撥道：“這就是‘無中生有’?！睂W(xué)生一下子群情激昂，熱烈鼓掌。這樣的課堂似乎上升到了“文化”的境界。然而，第二天一大早，有一位學(xué)生跑到筆者的辦公室，急不可耐地告訴筆者：“老師，我又有一種方法?！?0：00’就是24點(diǎn)呀……”學(xué)生如此執(zhí)著思考，而內(nèi)容如此超乎想象，真是妙不可言！這樣的過程似乎上升到一種更高的只可意會(huì)的境界，這或許就是“一覽眾山小”的境界。

教無止境，我們應(yīng)該努力追求更高的境界。

參考文獻(xiàn)：

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