淺談高中數學函數的單調性

楊磊

摘要：函數的單調性是函數的一條重要性質，我根據自己的學習經驗歸納總結了學習函數時會遇到的問題和難點，以及判斷函數的單調性的幾種可用的方法，而且也對每種方法的特點及適用范圍、注意事項作了一些介紹，這樣可以更好地理解函數，并掌握函數的單調性，讓我在解決數學中這類方面的問題時，更加得心應手。

關鍵詞：高中；函數；單調性

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函數是高中數學的函數學習當中的重點，所以在學習有關函數的知識時，我會從多個方面對函數進行認識與理解，包括函數的概念與定義、函數的性質等。其中很重要的一條性質便是函數的單調性，學好函數的單調性對于學好函數是必不可少的一步。函數的單調性在函數中具有很廣泛的應用。比如，可以利用函數的單調性比較函數值的大小，也可以轉化為比較自變量的大小；利用函數的單調性可以求函數的值域、最大值、最小值等等。

一、什么是函數的單調性

函數的單調性是函數的一條重要性質，它反映了函數值的變化規律。學習函數單調性的重點在于函數的單調性的有關概念。

1.增函數與減函數定義

對于函數 的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值 ， ：若當 < 時，都有 < ，則說 在這個區間上是增函數；

若當 < 時，都有 > ，則說 在這個區間上是增函數。

因而，判斷一個函數為增函數還是減函數，是相對于定義域內某個區間而言的。有的函數在某個區間上是增函數，而在另一個區間上可能變成減函數。有這樣特性的最典型的函數便是函數 ，當 時為增函數，當 時是減函數。

2.單調性與單調區間

若函數 在某個區間是增函數或減函數，則就說函數 在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函數 的單調區間。此時也說函數是這一區間上的單調函數。

在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。

需要注意的是函數的單調區間是其定義域的子集，應是該區間內任意的兩個實數，忽略需要任意取值這個條件，就不能保證函數是增函數（或減函數）。

二、函數單調性的應用

函數的單調性在高考試卷上必不可少，而且對其的考查各式各樣，考查的深度也遠遠高于課本。在考試中，對于函數單調性的考查難點往往在于證明或判斷函數的單調性。在討論函數單調性時必須在其定義域內進行，因此要研究函數的單調性就必須先求函數的定義域，函數的單調區間是定義域的子集。接下來我想談談函數單調性的應用。

1.函數單調性的判別

2.定義法

在數學中，解題過程中最基本的方法就是依靠定義。萬變不離其宗，無論是什么解題方法，都是由最基本的定義衍生而來的。因此，函數單調性判別的定義法為，自變量增大函數值變小為減函數；反之，為增函數。

3.函數變換法

由上面的定義法我們可以得到單調函數運算后的一些結論：在同一個區間上，若 、 都是單凋增（減）函數，則 + 也是單凋增（減）函數；若 單凋遞增， 單凋遞減，則 - 單調遞增；若 單凋遞減， 單凋遞增，則 - 單調遞減.

4.復合函數法

設函數 由兩個函數 與 復合而成，則 與 單調性相同時， 單調遞增； 與 單調性不同時， 單調遞減，這就是通常所說的同增異減。多層復合，依此類推。

4.作差比較法

根據定義證明函數單調性是判斷函數單調性的最重要的方法。其步驟為：（1）設值：即在單調區間上設出兩個不相等的自變量 、 ，且 < ；（2）比較：即比較 ）與 大小，通常采用作差或作商的方法；（3）判斷：即根據定義結合前兩個步驟得出結論。

5.等價變形法

三、函數單調性學習過程中的學習難點

了解了函數單調性的概念與定義，也知道了通過哪些方法可以判別函數的單調性，但是往往在應用中無法將這些定義與判別方法融會貫通，函數單調性經常是解題的關鍵點，如果無法將函數的這一性質運用得當，就無法輕松快速地解題，這也是我曾經在函數學習過程中遇到的一大困擾。我根據自己的理解，總結了一下這些問題的癥結所在。

1.沒有掌握數形結合的解題方法

華羅庚先生說過：“數無形，少直觀；形無數，難入微。”數形結合的方法就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來解決問題，數形結合可以有效地解決許多數學問題。以形助數，以數輔形，可以使許多數學問題變得簡易化，我覺得這也很關鍵。

因為函數的單調性只憑想象是不好理解的，所以需要依靠直觀的幾何圖形，把數與形一一結合起來，才能使得抽象問題具體化，優化解題步驟，解出正確答案。而我們在學習數學過程中，尤其是學習函數時，總是沒有數形結合的習慣和意識，這給我們學習帶來不利的因素。培養數形結合的解題意識，掌握好數形結合的解題方法，不但可以使我們學習函數單調性時遇到的問題迎刃而解，更對我們在以后學習數學的過程有很大的幫助。

2.不能深刻理解定義域的內涵

定義域也是函數中非常重要的一部分，而定義域與函數的單調性也是密不可分的，因為定義域決定了函數的單調性。而在平時的學習過程中，我們對定義域的理解往往太過于抽象，沒辦法深刻理解定義域的內涵，就不能在解題過程中得到正確的答案。因此，深刻理解函數的定義域，對于我們更好得運用函數的單調性有重要的意義。

若是在學習函數單調性的過程中遇到瓶頸，大家可以在這兩個方面找原因，找突破口，問題也就迎刃而解了。以上便是我自己對函數單調性的認識與理解。

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