變式訓練在高中數學解題中的運用

謝輝

摘要：變式訓練在高中數學解題教學中至關重要，通過變式訓練，可以提升學生數學思維能力，培養學生數學核心素養，從而幫助學生有效地學習數學。本文闡述了變式訓練在高中數學解題中的運用。

關鍵詞：變式訓練 高中數學 解題

著名數學家波利亞說過這樣一句話：“掌握數學也就意味著要善于解題。”數學課程的內涵趨同于提升學生解題能力和解題素養。數學解題在數學學習中一直占據著主導地位，但數學解題不能等同于題海戰術，不能就題論題，而要揭開數學題目中的內涵和價值，因為只有幫助學生樹立正確的學科觀，培養學生數學學科的核心素養，才能真正促使學生觸類旁通，領悟數學之道。

筆者認為，變式訓練可以培養學生分析問題和解決問題的能力，同時也能培養學生歸納和演繹的能力。在解題過程中，教師適當地開展變式訓練，既能培養學生的學科素養，又能培養學生的數學核心解題能力，從而在數學課堂中真正踐行素質教育。

一、變式訓練在高中數學解題中的含義

一般情況下，數學解題可以分為解標準題、解變式題和解探究題三種類型。其中，解題標準，毫無疑問是“照葫蘆畫瓢”，它是數學知識運用的一種最基本的形式；解變式題，可以定性為介于標準題和探究題中間的一種類型，它是拓寬數學知識邊界，靈活運用數學知識和解決問題的一種思維訓練，它有利于學生鞏固基礎知識，更有利于培養學生的探究能力。變式訓練往往是利用或構造一些變式的方法展示問題的本質，揭示數學的演繹過程，并最終形成一種有利于學生思維訓練的模式。

如有一道關于幾何概念的數學題目：“在等腰直角△ABC中，在斜邊AB任取某點P，求AP

二、變式訓練在高中數學解題中的意義

變式訓練是一種揭示數學本質的思維過程，通過變式思維訓練，學生可以進一步了解變量中的穩定性和可變性，從而發現問題的本質。因此，學生要積極發揮主觀能動性，深入探究和思考問題，從而培養更高層次的創新思維和能力，形成數學核心素養，這也是《數學課程標準》的主旨需求。

變式訓練能凸顯學生的思維能力，若教師能引導學生在抓住實質的基礎上觸類旁通，既能調動學生學習數學的積極性，又能提升學生的數學思維能力，從而體現“讓所有學生在數學課堂教學中都能取得不同的發展”的美好愿景。

三、變式訓練在高中數學解題中需遵循的三個原則

1.針對性原則

在高中數學解題訓練中，變式教學常與概念和習題有關，所以概念變式應落腳在本節課的教學目標和教學過程中，而習題變式也應立足于本節課的教學內容，以本節課的教學內容為載體，融入變式數學思想和方法，讓學生在變式訓練時“貼著地面行走”。此外，教師要盡量聯系縱橫兩個方向，讓變式過程在本節課的內容中“軟著陸”。

2.適用性原則

在培養學生變式思維時，教師既要考慮題目的難易程度，又要考慮學生的接受能力。教師要在學生的最近發展區展開適當的變式教學，從而讓變式教學真正打開學生數學思維的閘門，而不是一味地求深、求新。

3.參與性原則

高中《數學課程標準》強調教學要面向全體學生，發揮學生的主體性和主觀能動性，以學生的主動發展和主體需求為驅動。因此，教師要讓學生參與到變式訓練中，而不是教師求變、學生應變。此外，教師還要給予學生適當地啟發和點撥，引導學生從新的角度和思維審視同一數學現象，從而本源性地理解題目內涵。這樣一來，既能培養學生的探究思維，又能培養學生的數學學科核心素養，從而進一步培養學生勇于思考、善于探究、勤于追問的數學學習精神。

四、變式訓練在高中數學解題教學中的運用方法

變式，從字面來看，毫無疑問，就是要對原來的形式做出相應的變換，使原有的題目更具有迷惑性和靈活性，同時又要透過現象，揭示題目中的原理、規則和思維方法，還原問題的本來面目，從而達到標準題的解題思路，體現殊途同歸的解題模式。那么，作為變式的干擾因素有哪些呢？

1.本質未變，陳述已變

如關于基本不等式應用的一道例題：“已知x，y為正實數，且x+y=1，求+的最小值。”

變式1：已知 0

變式2：已知0

變式1和變式2兩道題都是以原例題為基礎，但在表述上有所不同。其本質原理是所求的式子中的分母之和等于1，即x+y=1，x+（1-x）=1， sin2x+cos2x=1這個本質共性特征。通過變式，將這些知識有效地銜接和統一起來，對培養學生透過現象認識本質，提升學生的學科思維能力大有裨益。

2.題設未變，問題已變

如有關橢圓定義與幾何性質應用的一道題：“在橢圓+=1上求一點M，讓它與兩個焦點的連線互相垂直。”

變式1：橢圓+=1的兩個焦點是F1，F2，點M為橢圓上的一動點。當∠F1MF2為鈍角時，求點M的橫坐標的取值范圍。

變式2：已知橢圓+=1的左、右焦點分別是F1， F2，點M在橢圓上，若M、F1、F2為直角三角形的三個頂點，則點M到x軸的距離為_____。

變式1是受到原題的啟發。其實，無論是鈍角還是銳角，它皆可以直角為參照目標，所以該題的解法較多，其中幾何解法尤為簡潔。以坐標原點O為圓心，以焦距F1、F2的長為直徑畫圓，與橢圓交于四點，由于直徑所對的圓周角是直角，所以當點M位于四個交點時，∠F1MF2為直角；而當M位于x軸上方或者下方的圓與橢圓的兩交點之間時，∠F1MF2為鈍角；銳角的情況也會不言自明，所以易求點M橫坐標的取值范圍是（-，-）。

變式2是將原題中的直角改為△F1MF2為直角三角形，沒有確定哪個角為直角，所以此題具有一定的靈活性。當∠F1MF2=90°時，只要求以焦距F1F2的長為直徑的圓與橢圓交點的縱坐標，由于半焦距小于短半軸3，所以此圓與橢圓無交點；當∠MF1F2=90°或∠MF2F1=90°時，很容易求點M到x軸的距離為。

（作者單位：江蘇省宜興市丁蜀高級中學）