從《正弦定理的發現與證明》微課教學設計談起

瞿春燕

[摘要]微課是當下教學的熱點話題，它是課堂教學的有益補充，如能加以合理使用，一定會為我們的高效教學搭建起好的平臺。正弦定理是高中數學一個重要的定理。對定理的由來和把握應是我們教學的一個重點，對其進行微課教學設計，并以此為例談談有關話題。

[關鍵詞]微課；教學設計；正弦定理

正弦定理是高中數學一個重要的定理。對定理的由來和把握應是我們教學的一個重點。前一段時間看了一個教師的微課教學設計。在此提出來與大家共享。

教學背景

本節課是蘇教版必修4第一章“解三角形”的第一節課的內容。“正弦定理”是初中“解直角三角形”內容的直接延伸。進一步揭示了任意三角形的邊與角之間的客觀規律。是三角函數知識和平面向量知識在三角形中的交匯運用。也是解決實際生活中三角形問題的重要工具。具有廣泛的應用價值

對于定理的學習。在以往的教學中發現大部分學生只關注定理的內容本身和其解決相關問題的應用。而根本沒注意定理是如何被發現及證明的。本節課分為兩課時。本次微課是正弦定理的前奏。其目的和主要任務是發現和引入并證明正弦定理。而正弦定理的應用放到第二課時。這樣學生才能真正地把握正弦定理。對幫助他們發現幾何現象。并且自主探究、處理問題有一定的積極意義。

學情分析

學生學習本節課之前。已經掌握了如何解直角三角形，并學習了平面幾何、三角函數、三角恒等變換、向量等知識，也具備了一定的觀察分析、解決問題的能力。但學生對前后知識間的聯系、理解以及綜合應用所學知識上還有所欠缺，思維也不夠縝密。尤其向量、三角函數知識學過的時間較長，學生不容易把三角函數和向量自然地連接在一起。所以設置了本節微課的教學目標：

（1）知識與技能：通過對三角形的邊長和角度關系的探索。發現并證明正弦定理。

（2）過程與方法：經歷完整的發現和證明正弦定理的過程。讓學生體會分類討論、化歸、類比、猜想以及由特殊到一般等數學思想方法。提高他們解決問題的能力。

（3）情感態度與價值觀：通過利用向量證明正弦定理。了解向量的工具性。體會知識的內在聯系，體會事物之間的相互聯系與辯證統一。

（4）教學重點：正弦定理的形成和獲得過程。

（5）教學難點：正弦定理的證明方法。

教學方法

采用探究式教學模式。在教師的啟發引導下。以“正弦定理的發現過程”為基本探究內容。讓學生的思維由問題開始，到得出猜想，探究猜想，推導定理，并逐步得到深化。借助多媒體和幾何畫板。激發學生學習的興趣。設計符合學生知識水平和學習心理的教學。鼓勵學生大膽猜想。積極探索。

學法分析

指導學生掌握“觀察-猜想-證明-應用”這一思維方法。將自己所學知識應用于對任意三角形性質的探究。增強學生由特殊到一般的數學思維能力。形成實事求是的科學態度。

教學過程

1。展示圖片。引出課題

展示生活中的三角形圖片。回憶初中所學三角形中經常用到的結論。如“大邊對大角。小邊對小角”。是定性地研究三角形中的邊角關系。我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關系呢？從而引出課題。

[設計意圖]從聯系的觀點，從新的角度看過去的問題。使學生對于過去的知識有了新的認識。同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上。形成良好的知識結構。

2。觀察特例。發現猜想

（1）探討直角三角形中角與邊的關系。得出直角三角形中各個邊與它所對的角之間存在著某一確定的數量關系。提出猜想：對于任意一個三角形，關系式成立嗎？

[設計意圖]以直角三角形這個特例作為切入點。符合從特殊到一般思維的過程。

（2）對于猜想用幾何畫板進行驗證。任意畫出一個三角形。度量出三邊的長度和三個角的度數。計算顯示出一組的值，然后不斷拖動三角形的一個頂點，改變三角形的形狀。觀察各組比值的變化。

[設計意圖]通過幾何畫板的演示。學生能直觀且主動地投入到數學發現的過程中來。另外。注意引導學生數學實驗只能作為對數學猜想的檢驗。不能作為猜想的證明。

3。證明猜想。得出定理

用平面幾何“作高法”對猜想進行證明，分銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三大類分別證明。得出正弦定理的文字敘述和符號表達。

[設計意圖]通過作輔助線，把斜三角形轉化為直角三角形。把學生不熟悉的問題轉化為熟悉的問題。引導學生體會利用已有知識解決新的知識的數學思想。讓學生感受“觀察-猜想-證明”的科學研究問題的思路。

4。探求其他證明方法

（1）向量法：向量融長度和角度于一體。借向量為載體證明正弦定理

（2）外接圓法：利用外接圓法不僅可以證明正弦定理。而且可以得出各個比值等于三角形外接圓的直徑2R。

[設計意圖]了解向量的工具性，體會知識間的內在聯系。

5。課堂小結

（1）正弦定理的發現過程：由特殊到一般。觀察-猜想-檢驗-證明。

（2）正弦定理的證明過程：①作高法：②向量法：③外接圓法。

[設計意圖]明確本節課所學的知識和數學思想方法。

6。課后思考題

（1）你還能用其他方法證明正弦定理嗎？

[設計意圖]除了本節課介紹的三種證法。啟發學生還可以考慮用其他方法。比如面積法等證明正弦定理。

（2）正弦定理可以解決哪類實際問題呢？請舉例說明。

[設計意圖]此問題既為正弦定理的應用。也為下節課做鋪墊。

7。教學總結

本節課的設計使學生經歷了“觀察-猜想-檢驗-證明-應用”的思維歷程。讓學生學會研究數學問題的基本思想方法。從初中學習過的三角形的邊角定性關系出發。對三角形的邊角關系進行定量探索。從特殊的直角三角形人手。結合學生的已有知識經驗。進行發散式猜想與探究。提出猜想。并通過幾何畫板進行檢驗其次。在證明猜想的教學環節。通過建立新舊知識的有機聯系。力求引導學生尋求合理的證明思路與策略。在證明過程中，讓學生體會分類討論、數形結合等數學思想方法。并提高運用所學知識解決實際問題的能力。

教學特色

運用PPT的動態效果和幾何畫板的直觀顯示，激發學生學習的興趣：設計符合學生知識水平和學習心理的教學。使學生掌握“觀察-猜想-檢驗-證明-應用”的研究數學問題的基本思想方法：通過讓學生經歷正弦定理的發現過程。讓學生體會類比、猜想以及由特殊到一般等數學思想方法：運用多種方法證明正弦定理。讓學生掌握知識之間的內在聯系，體會分類討論、化歸、數形結合等思想。提高解決問題的能力。

從上面的微課設計可以看出。一節好的微課應體現在：①微課的選題。這位教師選擇的這個課題能夠緊扣課本和教材，與教學實際相關，值得肯定。②微課的理解。筆者認為微課應該是指利用較短時間。講解一個非常單一化的知識點、考點或概念或是處理某一具體問題的一種微型教學方式。它可以用于課堂的新知識教學的前奏和后延。是一種不受時間、空間限制的一種課堂組織形式。本節課就是本著正弦定理的前奏展開的。③微課的目的在于培養學生自主學習、自主探索的優良學習習慣，實現學生個性化學習。從而喚起學生內心的自信和自主學習的需求。從設計方案和事實的流程看。本節課的目的也達到了。正如德國教育家斯普朗格所說：“教育的最終目的不是傳授已有的東西。而是要把人的創造力量誘導出來，將生命感、價值感喚醒。喚醒。是一種教育手段。父母和教師不要總是叮嚀、檢查、監督、審查他們。孩子們一旦得到更多的信任和期待，內在動力就會被激發出來，會更能干、聰明、有悟性。”比如有些數學概念的教學。完全可以設置成一個微課。數學概念是學生學習數學、接受新知識的基礎。準確而又徹底地理解和掌握數學課堂學習中的概念是學生學好數學的必備條件。如何能讓學生在徹底理解的基礎上把概念記牢。重要的是要把概念翻譯得通俗易懂，能夠舉一反三、融會貫通。從而理解概念的內涵和外延。這一點可以利用微課做到。把概念用通俗易懂的語言錄制好視頻。讓學生可以隨時隨地地回顧概念。對學生掌握數學概念很有幫助。再比如。某些重要的定理。課本上也許是簡單地處理一下。但是學生對這個定理的掌握可能就不清晰了。這種不清晰會影響到其他內容的學習。如果我們能通過微課的形式加以處理。效果就會不一樣了。

綜上所述。我們平常的教學，應針對學生掌握知識過程中的薄弱的地方。開展一些微課的嘗試。使得微課教學和課堂教學相互補充。真正有益于學生的學習。