尋找數(shù)學(xué)文化脈絡(luò) 推進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)

廖雙平

[摘要]高中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)文化的研究有很多，數(shù)學(xué)文化滲入數(shù)學(xué)課堂更多的是借助于數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)故事來進(jìn)行的。這樣的滲透方式不具有深刻性。研究表明。基于數(shù)學(xué)文化的脈絡(luò)去尋找數(shù)學(xué)故事背后的。能夠驅(qū)動學(xué)生思維的數(shù)學(xué)研究思路與數(shù)學(xué)思想。更能夠?qū)?shù)學(xué)教學(xué)起到推動作用。尋找數(shù)學(xué)文化脈絡(luò)的研究需要理清數(shù)學(xué)教學(xué)背景下的數(shù)學(xué)文化特點(diǎn)。需要基于數(shù)學(xué)實(shí)踐。需要思考數(shù)學(xué)文化發(fā)生作用的機(jī)制。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)文化：數(shù)學(xué)教學(xué)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)不能成為純粹的應(yīng)試教學(xué)。這樣的判斷深入人心但實(shí)施起來又特別困難。個中原因相信每一位高中數(shù)學(xué)同行都十分清楚。可以肯定的是。純粹的應(yīng)試對學(xué)生及教師的影響都是十分巨大的。除了早已詬病的“高分低能”之外。教師自身的專業(yè)成長也有可能被束縛在無窮無盡的題海當(dāng)中。那么有沒有可能在學(xué)生的應(yīng)試壓力之下尋找出有效的突破之道呢？筆者以為。在當(dāng)前的形勢之下。在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識構(gòu)建與解題能力的過程中。滲透數(shù)學(xué)文化是一條值得嘗試的途徑。

筆者注意到。數(shù)學(xué)文化實(shí)際上已經(jīng)成為當(dāng)前中國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的一個研究熱點(diǎn)。在高中數(shù)學(xué)課堂上無論數(shù)學(xué)文化的影子明顯與否。在不同層級的數(shù)學(xué)教學(xué)研討活動中。數(shù)學(xué)文化已然是一個熱詞。借著這樣的東風(fēng)。普通一線數(shù)學(xué)教師在課堂上引入數(shù)學(xué)文化。應(yīng)當(dāng)說有其必要性。也有其必然性。更重要的是。“以文化為視角。在人類文化發(fā)展的歷史過程中審視和理解數(shù)學(xué)”。也可以有效地提高高中學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這對于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的視野看待事物、研究事物進(jìn)而理解事物是極有好處的。

在這樣的想法馬醫(yī)動之下。筆者在實(shí)際教學(xué)中既注意保持現(xiàn)實(shí)所需要的學(xué)生解題能力的培養(yǎng)。同時又不斷尋找數(shù)學(xué)文化在課堂教學(xué)中可能出現(xiàn)的脈絡(luò)。取得了一些收益。在此通過本文與同行共享。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)背景下關(guān)注數(shù)學(xué)文化的特點(diǎn)

將數(shù)學(xué)文化放到高中數(shù)學(xué)教學(xué)的具體背景之下。可以尋找到更為有效的教學(xué)思路。之所以這么說。是因?yàn)樵诋?dāng)前某些課堂上的數(shù)學(xué)文化有只圖熱門之嫌——有些課堂上的數(shù)學(xué)文化成為數(shù)學(xué)故事的講授。似乎數(shù)學(xué)文化就是為了有一些有趣的故事去吸引學(xué)生的眼球：有的課堂上數(shù)學(xué)文化成為一種與課堂無關(guān)的情境。似乎數(shù)學(xué)文化就是為了激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之初的一點(diǎn)興趣。筆者以為。這樣的數(shù)學(xué)文化的理解是膚淺的。對學(xué)生的作用也是極有限的。

將數(shù)學(xué)文化放到具體的教學(xué)背景之下。是為了讓數(shù)學(xué)文化與課堂學(xué)習(xí)更好地聯(lián)系起來。以讓數(shù)學(xué)文化在學(xué)生的具體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中有一個堅實(shí)的立足點(diǎn)。能夠真正生根。當(dāng)然。這有一個重要的前提。那就是在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)背景之下。數(shù)學(xué)文化所呈現(xiàn)出來的相關(guān)特點(diǎn)。對此。筆者進(jìn)行了梳理：

第一。數(shù)學(xué)文化具有開放性。數(shù)學(xué)的發(fā)展是數(shù)學(xué)自身的邏輯體系發(fā)揮內(nèi)力作用。社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展起著外力作用的結(jié)果。數(shù)學(xué)是客觀世界抽象發(fā)展的結(jié)果。同時又促進(jìn)著社會的發(fā)展。因而認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是具有開放性的。具體到實(shí)際教學(xué)中。數(shù)學(xué)課堂應(yīng)當(dāng)不排斥生活事物而應(yīng)當(dāng)積極引入生活中的事物。并以之為分析對象。通過數(shù)學(xué)抽象、建模等方法。來描述生活事物。解決生活問題。從這個角度來看。數(shù)學(xué)文化顯然不是以數(shù)學(xué)發(fā)展故事為核心的存在。而首先是一種開放觀念的存在——數(shù)學(xué)教師要善于容納一切與數(shù)學(xué)直接或間接相關(guān)的事物。

第二，數(shù)學(xué)文化具有依附性。數(shù)學(xué)文化依附數(shù)學(xué)知識而存在。譬如“向量”（蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4第二章）這一概念。早在古希臘時期就被亞里士多得運(yùn)用來表示力。后來由牛頓演變?yōu)橛糜邢蚓€段來表示力。而其成為數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。則是以其具有幾何特征的量的研究。也因此向量有了幾何向量與空間向量之分。再后來人們又把空間性質(zhì)與向量運(yùn)算進(jìn)行了結(jié)合。演繹出一套具有運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系。縱觀這段歷史可以發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)文化是伴隨著數(shù)學(xué)知識的發(fā)展而延伸的。數(shù)學(xué)文化隱藏在數(shù)學(xué)知識背后卻又反作用于知識的生成。當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂上知識的構(gòu)建缺少文化的支撐。因而學(xué)生只感受到數(shù)學(xué)知識的抽象性而感受不到文化的驅(qū)動。因而學(xué)困現(xiàn)象越來越普遍。

第三，數(shù)學(xué)文化具有多解性。不同視角下的同一數(shù)學(xué)事件有著不同的意義。數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)文化更多的應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)為對數(shù)學(xué)知識構(gòu)建的促進(jìn)上。同樣如上面所提到的“向量”概念的構(gòu)建。基于數(shù)學(xué)發(fā)展史的文化脈絡(luò)。可以設(shè)計讓學(xué)生去比較向量與非向量的區(qū)別。認(rèn)識生活對于向量描述的必要性。而不純粹是數(shù)學(xué)知識自身的邏輯性。則可以為學(xué)生構(gòu)建關(guān)于向量的概念提供另一種動力。要知道。建構(gòu)主義固然認(rèn)為知識是學(xué)生自己構(gòu)建出來的。但在不同動作作用之下。構(gòu)建的過程與結(jié)果會有很大的區(qū)別。知識是不是真正得到內(nèi)化。與構(gòu)建動力有著直接關(guān)系。

梳理以上特點(diǎn)。目的在于引導(dǎo)自身在課堂教學(xué)實(shí)踐中以更為理性的心態(tài)引入數(shù)學(xué)史。更為智性的心態(tài)滲透數(shù)學(xué)文化筆者以為。相對于貼標(biāo)簽式的數(shù)學(xué)文化課堂而言。這樣的滲透更具潤物無聲的效果。

以數(shù)學(xué)文化為脈絡(luò)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)例

在具體的數(shù)學(xué)知識教學(xué)過程中。在具體的學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的過程中。數(shù)學(xué)文化如何成為學(xué)生的思維脈絡(luò)之一呢？筆者進(jìn)行了多次實(shí)踐，現(xiàn)結(jié)合“向量的坐標(biāo)表示”中的“平面向量基本定理”教學(xué)進(jìn)行簡單闡述。

平面向量基本定理的內(nèi)容是：如果e₁和e₂是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量。那么對這一平面內(nèi)的任一向量a。有且只有一對有序?qū)崝?shù)λ₁，λ₂，使a=λ₁e₁+λ₂e₂。對于這一知識的構(gòu)建，可以基于數(shù)學(xué)文化的脈絡(luò)設(shè)計這樣的幾個教學(xué)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一：借助于生活因素，創(chuàng)設(shè)思維情境。提出探究問題向量的坐標(biāo)表示有一個重要思想。就是平面內(nèi)一個向量與兩個不共線向量之間的“依附”關(guān)系。即“一個向量”與“兩個不共線向量”之間存在的相互依附且唯一的關(guān)系。在生活中存在這種聯(lián)系的事物不少。比如學(xué)生在物理學(xué)科學(xué)到的合力與分力的等效依附關(guān)系。又比如說學(xué)生在音樂學(xué)習(xí)中遇到的樂譜中的阿拉伯?dāng)?shù)字與音調(diào)之間的對應(yīng)關(guān)系等。引入這些元素。可以先讓學(xué)生感受一下這種普遍存在的依附關(guān)系。從而在思維上奠定平面向量基本定理的理解基礎(chǔ)。然后再借助于教材上提出的速度分解與力的分解兩個例子，提出問題：平面內(nèi)的任一向量是否可以用兩個不共線的向量來表示？這樣的設(shè)計中蘊(yùn)含了同一數(shù)學(xué)思想在生活與數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科普遍存在的意思。旨在讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化在不同領(lǐng)域的廣泛存在。

環(huán)節(jié)二：分析平面向量基本定理中的文化脈絡(luò)。實(shí)施主題引領(lǐng)下的教學(xué)。研究分析相關(guān)數(shù)學(xué)資料可以發(fā)現(xiàn)。平面向量基本定理描述等效前提下一個向量與兩個向量的關(guān)系。是源自于向量研究中研究者對某一平面內(nèi)所有向量是否存在基底的探究。同時也源自于向量在實(shí)際應(yīng)用中的等效要求。因此結(jié)合這兩點(diǎn)史實(shí)。在教學(xué)設(shè)計中可以設(shè)計這樣的環(huán)節(jié)：火箭升空后拐彎的時間段里，要從速度的角度描述其運(yùn)動。則可以將其分解到水平與豎直兩個方向。這一實(shí)際情形通過數(shù)學(xué)抽象可以簡化為這樣的數(shù)學(xué)模型：一個平面內(nèi)存在一個向量。然后尋求是否可以將其分解為兩個非共線向量。以及這個向量與兩個非共線向量（基底）之間的系數(shù)關(guān)系。本環(huán)節(jié)中可以回顧向量概念。尤其是牛頓利用向量研究力學(xué)的一些史料。從而加深學(xué)生對平面向量基本定理的認(rèn)識。

環(huán)節(jié)三：引導(dǎo)學(xué)生反思深層次的文化力量如上所說。本文所闡述的數(shù)學(xué)文化并非以故事為載體的文化。而是以驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)思維的文化。從第一個環(huán)節(jié)的設(shè)計中。學(xué)生可以感受到數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)思維的普遍存在與適用：從第二個環(huán)節(jié)中的數(shù)學(xué)與實(shí)際情形的聯(lián)系。以及基于一個平面內(nèi)的基底的尋找與探究。學(xué)生可以感受到“有且只有一對實(shí)數(shù)”所帶來的數(shù)學(xué)的唯一性、精確性與對應(yīng)性。而這恰恰是平面向量基本定理美的所在。

從數(shù)學(xué)文化視角管窺高中數(shù)學(xué)教育的實(shí)現(xiàn)

有研究者提出。高中數(shù)學(xué)要走基于數(shù)學(xué)文化的從數(shù)學(xué)教學(xué)到數(shù)學(xué)教育之路。顯然。數(shù)學(xué)教學(xué)局限于日常的應(yīng)試，而數(shù)學(xué)教育則指向數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)教育包含了數(shù)學(xué)教學(xué)。卻又超越一般的知識傳授在這個過程中。數(shù)學(xué)文化承載著重要的使命

數(shù)學(xué)教師要做的一件重要的事情是，從數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)軼事中尋找數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)。尤其是數(shù)學(xué)知識是如何發(fā)生的脈絡(luò)。以梳理一個數(shù)學(xué)知識在歷史中在什么樣的背景下、以什么形式被研究者所重視并發(fā)現(xiàn)出其中的規(guī)律的。這樣的研究可以讓教師更好地把握數(shù)學(xué)知識發(fā)生的邏輯。也可以更好地完善自身的教學(xué)設(shè)計，以讓學(xué)生經(jīng)歷一個更為合理的學(xué)習(xí)過程。