在“笨方法”里學假設的途徑探析

金奎

（浙江省慈溪市教育局教研室，慈溪315300）

【摘 要】《雞兔同籠》的價值追求是讓學生經歷“嘗試—調整—再嘗試—再調整”的“笨方法”，感悟假設法。但在教學中會產生種種困惑。針對這些困惑，本文提出四個對策：越過文化體驗，為“笨方法”留時間；放手自主假設，為“笨方法”拓形式；溝通假設渠道，為“笨方法”聚能量；重塑假設格局，為“笨方法”闊空間。

【關鍵詞】小學數學；假設；困惑；調整；對策

《雞兔同籠》從六年級上冊移到四年級下冊，刪去方程解法，突出了假設法的地位與作用，讓學生經歷“假設—調整—驗證”過程，并最終找到答案。盡管教師明確了《雞兔同籠》的價值追求，但在教學中總是會產生這樣那樣的困惑。

一、求文化還是求效率是一種思想困惑

新教材仍通過富有情趣的古代課堂，生動地呈現《孫子算經》中記載的“雞兔同籠”問題，激發學生解答古代數學趣題的興趣。同時增加了一幅雞兔同籠圖，提示 “雞有2條腿、兔有4條腿”。但根據教學統計至少要三步：先要讀古題做解釋，接著翻譯成現代漢語，讓學生先嘗試，發現數據太大不利于研究，這才出示例1。文化滲透還夾帶數學思想，占用時間過多，反而不利于學生集中精力探究新知。

解決以上困惑的對策是：越過文化體驗，為“笨方法”留時間。既然假設法是本課教學的核心，那么就應該把時間留給假設的產生、發展與鞏固。教師不妨越過這些文化體驗，直接出示例1。學生可以通過讀題、析意、猜測（如下圖），初步感知假設意味。這種“笨方法”學生稱之為“湊”，這種“湊”的過程符合數量關系與運算順序，與今后的不定方程一脈相承。其實在三年級的《租船問題》時學生已經體驗過從個別猜測慢慢地引導成有序羅列。

二、要畫圖還是不要畫圖是教學困惑

畫圖由于其直觀性，一直是學生研究數學問題比較喜歡的方式，但教材沒有用圖做支撐，教師在教學中卻總會借助圖講清假設過程。那么圖是否必須呈現，價值幾何？

解決以上困惑的對策是：放手自主假設，為“笨方法”拓形式。基于學生起點的教學是現代課堂的靈魂。放手讓學生用自己喜歡的方式去解答，在多形式的自主假設中捕捉學生思維水平。方法有不少：

1. 畫圖。大多數學生假設都是雞，少數假設是兔。

2. 列表。

3. 列式。

除了列式，畫圖與列表都形象地展示了調整過程。湊頭與湊腿就是“笨”在從“0”開始，有順序地、詳細地列出所有情況，然后再篩選出正確頭數；而跳躍“調整法”與中間“突破法”則思維含量較高，但事實上是“笨方法”思考后的輕巧方式。畫圖與其他方式一樣都是學生的原生態思維，給教學帶來了無限生機與靈性。然而畫圖與列表的羅列基本一致，可根據學生實際情況取舍。

三、重列表還是重算式是思維困惑

教師總認為算式是解決問題的最好記錄方式，所以千方百計地希望把列表的“笨方法”拔位到算式的“活方法”。列表與列式如何平衡，列表對列式有哪些作用？

解決以上困惑的對策是：溝通假設渠道，為“笨方法”聚能量。回歸到本課的核心——假設法，更多人總是認為運用了畫圖法，列表法，假設法，這個假設法指的列式。但筆者認為：畫圖、列表的過程無一不是假設，畫圖、列表、列式是假設法的三種不同表達形式而已；重點刻畫列表的“笨方法”，溝通三種表達形式之間的假設渠道，聚集能量。

1. 先反饋列表，再畫圖支撐

列表是從0開始，發現總腿數與已知頭數不對時，進行調整，每調整一次就是在體會假設。初始的假設可以視作“零起點”，無須經過深入思考，因此俗稱“笨方法”。而能畫出正確的圖，學生已經懂得假設全為雞或全為兔，應該是已經具備了較系統的假設知識。因此盡管圖很直觀，但由于思維層次不同，建議先反饋列表，再用畫圖支撐（如下表），這也是前文所指教材不畫圖的另一個原因。

2. 先同步調整，后集中突破

基于三種方式的感悟，學生對假設法已經具有一定的認識，解決“雞兔同籠”問題的策略逐步優化。如何使“假設—調整—結論”的步驟更加清晰，當展示完學生作品后，教師可把列表、畫圖、列式同步調整加以呈現，把畫圖作為列表和列式的聯系紐帶，實現形象到抽象的過濾。

師：觀察課件，先怎么想？

生1：假設全為雞，那么表格里填雞8只，兔0只。（填表）

生2：列式為8×2=16，25-16=10（板書）

師：剩下的10條腿，怎么調整？

生3：在圖中每只雞下面加2條腿，那么變為雞7只，兔1只。

生4：表格也調整為雞7只，兔1只。

生5：減少一只雞，增加一只兔進行調整，共調整5次。（填完表格同步展示完圖）

師：誰看懂了？誰再來說說？同桌互說。

師：那么這個調整過程可以怎么列式？（4-2）是什么意思？

邊放邊寫、逐次細理的三結合使道理通透。為了鞏固調整的策略，可結合學生的回答多次回放課件，并通過個別說、同桌互說等學習方式加以咀嚼與內化。

四、選特殊還是選普通是解題策略的困惑

課一開始越過了文化體驗，怎么彌補？還有個棘手的問題：雞有兩條腿，而“4-2”也是兩條腿，如何減少這種特殊性對意義的干擾，可否換成普通素材？

解決以上困惑的對策是：重塑假設格局，為“笨方法”闊空間。《雞兔同籠》作為中國古代數學的結晶，其歷史文化可以在練習環節增加古題的練習。教師可以重塑假設的格局，選擇合適的方法與素材進行理解，不妨來環視一下各種教材。

1. 以方法的刪減促進效果提高

北師大版五年級上冊《嘗試與猜測》單元中也安排了“雞兔同籠”這一教學內容（如下圖）。與人教版對比，主要發現以下兩點不同。

一是教材中呈現了多種解決問題的方法，突出了先羅列后篩選的“笨方法”，刪去了列式法，也沒有出現畫圖法。

二是從較為簡單的問題引入，在學生交流研究掌握一定的方法后再解決《孫子算經》中的原題，與人教版的編排恰好相反。

2. 以素材的改變開拓學習空間

蘇教版并沒有安排雞兔同籠素材，只是在六年級上冊出示租船的情境（如下圖），讓學生在畫圖與列表計算的過程中體會“調整”的方法，只把“雞兔同籠”問題作為一道練習題。一個小小改變重塑假設的格局，使學習空間更為寬闊。

假設是運用想象對所研究的事物本質或規律的初步設想或推測，是對所研究的課題提出可能的答案或嘗試性理解。本課的思維起點在于“先猜測后驗證”，又通過“嘗試—調整—再嘗試—再調整”的“笨方法”，逐漸逼近正確答案，也為用假設法解決分數、百分數問題以及更高階段的反證法積累經驗。