借助直觀理解變形
——《解方程》教學(xué)片斷與解讀

李春英（特級教師）

從上世紀(jì)七十年代末小學(xué)階段引入解方程以來，解方程教學(xué)大致可以分為三個(gè)階段。第一階段是用四則運(yùn)算關(guān)系解方程，就是熟練運(yùn)用四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系去解方程。第二階段是2001版課標(biāo)中提倡的用等式性質(zhì)解方程。第三階段是2011版《課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確“用等式的性質(zhì)解簡單的方程”的要求。這個(gè)過程體現(xiàn)了從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。

讓學(xué)生經(jīng)歷從用四則運(yùn)算關(guān)系解方程到用等式性質(zhì)解方程的過程，或者是通過兩種解方程的思路來達(dá)到二者之間的溝通與融合，從而讓學(xué)生順利地把四則運(yùn)算關(guān)系與等式性質(zhì)建立起聯(lián)系，用等式的性質(zhì)來解釋四則運(yùn)算關(guān)系，用四則運(yùn)算關(guān)系來驗(yàn)證等式的性質(zhì)。如果能夠?qū)崿F(xiàn)這個(gè)溝通，那么就能夠很好地解決解方程教學(xué)中“非此即彼”的教學(xué)實(shí)際問題，在算術(shù)思維解方程和代數(shù)思維解方程之間架起一座橋梁，讓它們彼此“握手言歡”。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)試圖以此為突破口，嘗試借助天平直觀溝通二者之間的聯(lián)系，體會(huì)方程變形的不同依據(jù)，突出等式性質(zhì)的一般性和優(yōu)越性。

【教學(xué)片斷與解讀】

一、利用游戲，引入新課，從不等式到等式（從圖到式）

1.你會(huì)用含有字母的式子表示嗎？

小結(jié)：從左向右看用“＜”來連接，從右向左看用“＞”來連接。

2.你會(huì)用含有字母的式子表示嗎？

小結(jié)：等式的兩邊雖然都只有一個(gè)字母，但也是方程。

3.這個(gè)天平圖能用方程式表示嗎？是方程嗎？為什么？

為了討論方便，老師把這三個(gè)圖形所表示的重量分別用a、b、c代替。它們之間的關(guān)系可以表示為a=b+c，也可以表示為b+c=a。剛才有同學(xué)寫的是a-b=c，可以嗎？

小結(jié)：天平圖示表示的等量關(guān)系是a=b+c，同學(xué)們想到的減法數(shù)量關(guān)系是經(jīng)過你們推理得到的，也就是說天平兩邊同時(shí)減去b或者c得到的。所以圖示不同，方程式也不同。

【解讀：從不等式到等式，突出天平的平衡原理，豐富學(xué)生對方程意義的理解。通過x=y這種形式滲透方程的對稱性。通過溝通不同天平圖示之間的聯(lián)系，復(fù)習(xí)等式的基本性質(zhì)，并把等式的基本性質(zhì)與學(xué)生的推理結(jié)合起來，初步溝通等式的基本性質(zhì)與四則運(yùn)算各部分關(guān)系之間的聯(lián)系。】

二、借助天平，體會(huì)變形，從等式到等式（式圖結(jié)合）

1.你知道 a、b、c 這三個(gè)未知數(shù)的值可能是多少嗎？有多少種可能？依據(jù)是什么？

如果老師告訴你a=100，你知道b和c是多少嗎？如果老師告訴你b=35呢，你可以求出c的值嗎？怎么求？根據(jù)是什么？

小結(jié)：同學(xué)們剛才根據(jù)天平圖示寫出來的方程式其實(shí)就是一個(gè)等量關(guān)系式。不管有多少種可能，都不能離開這個(gè)等量關(guān)系式去假設(shè)。

2.你能很快說出這些方程中x的值嗎？根據(jù)是什么？

【解讀：追問“可能是多少”的目的是進(jìn)一步體會(huì)方程本身就是一種等量關(guān)系，就是一個(gè)模型。不論三個(gè)未知數(shù)可能是多少，都不能離開原有的這個(gè)模型。四道小題學(xué)生根據(jù)以往的推算經(jīng)驗(yàn)，很快就能說出x的值。它有三個(gè)作用，一是可以復(fù)習(xí)四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系；二是可以和復(fù)雜方程進(jìn)行對比，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)用等式基本性質(zhì)解方程的興趣；三是為學(xué)生探究用等式基本性質(zhì)解方程提供簡單的學(xué)習(xí)材料。】

3.（出示8-2x=9-4x）這道題你還能很快說出x的值嗎？為什么？怎么辦呢？

老師把這個(gè)方程放到平衡的天平上，可以根據(jù)什么來求x的值？請你檢查一下天平的每一次變化之后是否還平衡？根據(jù)是什么？同桌交流。

反饋交流。平衡嗎？為什么？

①—②方程兩邊都加4x，平衡。

②—③化簡得到，平衡。

③—④方程兩邊都減8，平衡。

④—⑤化簡得到，平衡。

⑤—⑥方程兩邊都除以2，平衡。

小結(jié)：同學(xué)們借助天平圖示，能看懂并說清每一次變化的依據(jù)，用等式的性質(zhì)解釋天平的每一次變化。太棒了！

【解讀：這是一個(gè)比較復(fù)雜的方程，學(xué)生用慣性思維找不到各部分之間的關(guān)系，無法用已有的經(jīng)驗(yàn)順利解決，從而引起其認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)另一種解方程方法的興趣，為學(xué)生主動(dòng)探究用等式基本性質(zhì)解方程提供內(nèi)驅(qū)力支撐。教師給出天平，在天平的直觀支撐下看懂每一次變化后的天平圖示，激活學(xué)生已有的等式性質(zhì)的知識，體會(huì)等式性質(zhì)在解方程過程中的一般性和優(yōu)越性。】

4.把天平圖示去掉，你還能說出方程每一步變形的依據(jù)嗎？

小結(jié)：當(dāng)我們一時(shí)看不出方程各部分的關(guān)系時(shí)，可用等式的性質(zhì)通過方程變形求出未知數(shù)x的值。看來等式的性質(zhì)也是我們求解未知數(shù)值的好幫手。

觀察整個(gè)求未知數(shù)x的過程，如果把這個(gè)方程看作一個(gè)繩上的套，那么我們就是在用等式的性質(zhì)一步步地把方程這個(gè)套解開，因此我們把這個(gè)叫做解方程。在解方程之前要先在方程左邊寫上一個(gè)“解”字，后面點(diǎn)上“：”這個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號，表示你要開始解這個(gè)“套”了。

從解方程的過程中，你還能發(fā)現(xiàn)需要注意什么嗎？

小結(jié)：等號對齊，表示天平依然保持平衡，結(jié)果仍然是等式。開頭寫“解”，等號對齊，是解方程的兩個(gè)格式要求。

【解讀：在學(xué)生初步體會(huì)運(yùn)用等式性質(zhì)解方程的必要性之后，把解方程的過程從天平圖示中抽離出來，通過回顧等式的性質(zhì)完成對解方程的整體感知。通過觀察完整解方程的過程，強(qiáng)調(diào)解方程的兩個(gè)格式：開頭寫“解”，等號對齊，比較形象直觀地進(jìn)行格式要求。為學(xué)生主動(dòng)探究用等式基本性質(zhì)解方程提供外在的技術(shù)支撐。】

三、自主探究，溝通聯(lián)系，從復(fù)雜到簡單（從式到圖）

1.現(xiàn)在請同學(xué)們嘗試著用等式的基本性質(zhì)解方程。我們先從最簡單的方程開始研究。

請你先在每個(gè)方程下面畫出天平，用等式的性質(zhì)解下面的方程。注意格式哦！

①35+x=100②x-3.5=5.8

③5x=80④42÷x=7

2.反饋交流：實(shí)物投影展示學(xué)生作品，先學(xué)生匯報(bào)再集體交流。

①兩邊都減35，平衡；左邊剩 x，右邊是 100-35；x=100-35，其實(shí)就是和減去一個(gè)加數(shù)。

②兩邊都加3.5，平衡；左邊剩x，右邊是5.8+3.5，其實(shí)就是差加上減數(shù)。

③兩邊都除以5，平衡；左邊剩 x，右邊是 80÷5，其實(shí)就是積除以一個(gè)因數(shù)。

④兩邊都乘 x，變形為42=7x，平衡；通常將含有未知數(shù)的代數(shù)式寫在方程左邊，變形為7x=42，與第③題一樣。

【解讀：這個(gè)環(huán)節(jié)化繁為簡，讓學(xué)生用最簡單的方程體會(huì)最基本的變形。因?yàn)橛辛饲懊嬗^察天平圖示變化過程以及沒有天平圖示方程的變化過程，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的用等式性質(zhì)使方程變形的基本經(jīng)驗(yàn)。要求學(xué)生在方程的下面畫天平圖的目的在于直觀地理解兩邊同時(shí)加、減、乘或除使最后天平左邊只剩x。通過觀察和分析，得出等式的基本性質(zhì)與各部分關(guān)系之間及兩種解方程方法之間的聯(lián)系。實(shí)現(xiàn)這個(gè)環(huán)節(jié)目標(biāo)的前提是學(xué)生對等式性質(zhì)和四則運(yùn)算之間關(guān)系的表述清楚明白，否則這個(gè)環(huán)節(jié)的目標(biāo)就無法達(dá)成。因此學(xué)生的語言表達(dá)在這個(gè)環(huán)節(jié)顯得尤為重要。】

3.觀察這四個(gè)方程解的過程，它們有什么共同點(diǎn)？

①都可以用等式的性質(zhì)，也可以用各部分關(guān)系。

②都想辦法讓等號的左邊只剩下x。

③開始都要寫一個(gè)“解”字，然后寫“：”。

④每一步的等號都要對齊。

不論用哪一種方法解方程，我們都要把方程變形為“x=？”的形式。

4.我們把這個(gè)結(jié)果叫做方程的解。請你用“x=（）是方程（）的解”說一說這四道題目。

想一想方程的解和解方程是一回事嗎？

小結(jié)：解方程是一個(gè)過程，是求方程的解的過程。方程的解是一個(gè)數(shù)，是未知數(shù)的值。

5.跟蹤練習(xí)：看圖列方程，并求方程的解。說一說每一步的依據(jù)是什么？用等式的性質(zhì)和四則運(yùn)算之間的關(guān)系這兩種方法來解釋。

四、鞏固方法，學(xué)會(huì)檢驗(yàn)，從具體到抽象（有式無圖）

1.沒有天平圖的幫助，你會(huì)解下面的方程嗎？還能說出解這個(gè)方程每一步的依據(jù)嗎？

解方程：18（x+14）=540

遇到有括號的方程怎么辦？

把括號里的數(shù)即“x+14”的和看作一個(gè)整體。如果老師把題目變成 5（12+x）=8x，你還能把括號看作一個(gè)整體嗎？為什么？

小結(jié)：很多時(shí)候括號是不能看作一個(gè)整體的，我們要根據(jù)具體數(shù)字的特點(diǎn)靈活判斷。

2.求出來的x的值是這個(gè)方程的解嗎？這就需要我們對這個(gè)數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。

你能想出檢驗(yàn)的方法嗎？請打開書第102頁，看例1和例2的檢驗(yàn)方法，用筆圈起來。

檢測：18×（16+14）=540

小結(jié)：通過把16代入原方程檢驗(yàn)，我們知道x=16可以使這個(gè)方程的左右兩邊相等，我們就把x=16這個(gè)x的值叫作這個(gè)方程的解。

3.用書上的檢驗(yàn)方法判斷并說明原因，要求說完整。

（1）x+32=76（x=44，x=108）

（2）12-x=4 （x=16，x=8）

（3）4x=6（x=1.5，x=2）

（4）3÷x=1.5（x=0.5，x=2）

學(xué)生解答：

（1）因?yàn)?44+32=76，所以x=44是方程的解。

（2）因?yàn)?12-8=4，所以 x=8是方程的解。

（3）因?yàn)?×1.5=6，所以x=1.5是方程的解。

（4）因?yàn)?÷2=1.5，所以x=2是方程的解。

小結(jié)：只有使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值才是這個(gè)方程的解。

【解讀：方程的解這個(gè)概念其實(shí)并不容易理解。本節(jié)課分兩次進(jìn)行教學(xué)。第一次是在嘗試用等式性質(zhì)解方程環(huán)節(jié)，通過讓學(xué)生讀一讀x=（）的形式感悟方程的解是一個(gè)數(shù)，通過說一說x=（）是方程（）的解，體會(huì)不同方程的解是不同的。第二次是在檢驗(yàn)環(huán)節(jié)，通過把x的值代入原方程檢驗(yàn)的方法，進(jìn)一步加深方程的解是一個(gè)能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。最后通過一個(gè)檢驗(yàn)題目完善方程的解的概念。】

五、拓展練習(xí)，綜合運(yùn)用，從單一到綜合（有圖無式）

1.看圖列方程，并求出方程的解。

2.看圖編一道實(shí)際應(yīng)用題。

【解讀：解方程是為了解決實(shí)際問題。除了天平這個(gè)模型之外，還有線段相等、面積相等、距離相等、速度相等，等等。這些等量關(guān)系幫助我們用相等的思路列出方程，然后利用等式的基本性質(zhì)或者四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系求出x的值，從而順利解決問題。這兩道題目只是提供了線段相等的模型，起到拓展思路的作用。】