融會貫通提升思維
——《平面圖形的面積整理與復習》教學設計與評析

鮑賽紅　吳恢鑾

【教學內容】

浙教版五年級上冊第四單元。

【教學過程】

一、回憶梳理，引入新知

師：課前我們進行了平面圖形知識的整理。我們學過的平面圖形有哪些？怎樣計算它們的面積？

（出示平行四邊形、三角形、梯形）

（展示這三種圖形的面積推導方法，逐一回顧各種平面圖形的面積推導過程）

師：平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導過程有什么相似之處？

生：都運用了轉化的策略。

師：當我們遇到新問題時，可以想辦法將它轉化成我們已經學過的知識，然后用學過的知識去解決新的問題。

【評析：整理復習課不僅是識記公式并運用公式解決常見的練習題，更重要的是將學過的知識進行系統整理使其形成知識與方法的思維網絡，便于提取與應用。在自主整理知識的過程中發現遺漏的知識應及時彌補，如果生長出新的知識則適當拓展。上課伊始，鮑老師即引導學生回憶梳理每個平面圖形的面積公式，并讓學生表述面積公式的推導過程。從點入手、連點成線，為溝通三個圖形面積公式之間的內在聯系做好知識與思考方法的鋪墊準備。】

二、打通聯系，融會貫通

師：三個平面圖形的面積公式可以少記幾個嗎？它們之間有什么關系？有沒有可能把三個不同的平面圖形轉化成同一個面積公式來計算呢？

1.從平行四邊形面積公式出發，提煉轉化思想。

生：兩個相同的梯形或者三角形都能拼成平行四邊形。所以我認為可以統一利用平行四邊形的面積公式來計算三種圖形的面積。

（根據學生的回答，出示三角形和梯形面積公式與平行四邊形面積公式之間的關系）

2.從梯形面積公式出發，滲透運動變化思想。

生：我認為可以統一用梯形面積計算公式。“梯形的面積=（上底+下底）×高÷2”，當上底縮短至0時，梯形就變成了三角形，公式就變成了“下底×高÷2”，也就是“三角形的底×高÷2”。而當上底變得和下底一樣長時，梯形就變成了平行四邊形，公式就變成了“上底（或下底）×2×高÷2=底×高”。

教師根據學生的回答板書，讓學生明晰梯形面積公式與平行四邊形、三角形面積公式之間的關系。

3.從三角形面積公式出發，提煉等積變形思想。

師：從這兩個轉化過程中你還想到了什么？挑戰一下，能否用三角形的面積計算公式來計算梯形和平行四邊形的面積？

出示學習要求：

（1）分一分：把梯形和平行四邊形分成幾個三角形？

（2）算一算：請用字母表示分成的三角形，并算一算。

（3）想一想：能不能把分成的多個三角形變成一個三角形？

（獨立探究后四人小組相互交流，然后全班交流）

組1：先把梯形分成兩個三角形，于是這個梯形的面積就變成了兩個三角形的面積，一個三角形的面積是ah÷2，另一個三角形是bh÷2，合在一起就是 ah÷2+bh÷2=（a+b）h÷2。

組2：（使用白板軟件，邊演示邊講解）先把梯形中以b為底的三角形翻轉，然后通過等積變形，把以b為底的三角形上面的頂點沿平行線左移，直到和以a為底的三角形的上面這個頂點重合，這樣兩個三角形就變成了一個三角形（如下圖）。三角形的底是梯形的上底加下底的和，三角形的高就是梯形的高。

師：好厲害！像這樣，圖形形狀發生了變化，面積沒有發生變化，我們稱之為——等積變形。有沒有小組想到平行四邊形是怎么變的呢？

生：聽了組2的介紹，我想到了（使用白板軟件，邊演示邊講解）先把平行四邊形沿對角線分成兩個三角形，把其中一個三角形翻轉，然后等積變形成這樣的三角形（指下圖右三角形）。三角形的底就是原平行四邊形的底的兩倍，三角形的高就是原平行四邊形的高。

師：看看變形以后的情況，它們之間到底有怎樣的關系呢？

4.小結：三個面積計算公式可以通過擴倍拼補的方法轉化成平行四邊形面積計算公式，通過運動變化的方法轉化成梯形的面積計算公式，還可以通過等積變形轉化成三角形的面積計算公式。

【評析：鮑老師引導、鼓勵學生借助圖形操作，溝通三個圖形面積之間的關系，運用現成的公式，從擴倍拼補、運動變化以及等積變形三個維度分析內在聯系，使之在知識上求聯、在方法上求通，開放中有統一、統一中有開放，極大地激發了學生探究的興趣、提升了學生探究的水平、發展了學生的思維。小組的討論、集體的碰撞、白板技術的輔助等，使用得恰到好處，適得其所。】

三、層次練習，應用提升

1.基本練習。

在下圖中，當a縮短成一個點，也就是a=0時，這個圖形就變成了（）形，公式S=（a+b）h÷2就變成了（）；當a=b時，這個圖形就變成了（），公式 S=（a+b）h÷2 就變成了（）。

他父親有三個要好的朋友，一個是大學教授、物理學家克里斯坦森，一個是哲學家霍夫丁，另一個是語言學家湯姆森。每逢星期五的晚上，他們三人都要到波爾家做客，他們在一起興致勃勃地談論物理、哲學、文學，評說科學領域的新成就。

2.變式練習。

已知梯形面積①和三角形面積②相等，求AB的長？（單位：厘米）

3.拓展練習。

求陰影部分的面積。

【評析：三組練習從基本到變式、從變式到拓展，既是鞏固新知識、新方法，又是在變中訓練不變。第一題從運動變化的角度，溝通梯形與平行四邊形、三角形之間面積的關系，屬于課堂知識的回顧。第二題，左圖：梯形和三角形的高相等，則面積相等就意味著梯形上下底的和=三角形的底，從而AB=12-7=5；右圖，基本原理同左圖，7+AB=12-AB，AB=2.5。第三題，左圖通常的做法是：（4+3）×3÷2-3 ×3 ÷2=6（cm2），也可以通過等積變形，構造三角形ABD的面積=三角形ABC面積，從而陰影部分的面積就是 4×3÷2=6（cm2）。右圖AC//GE，從而三角形GAE的面積=三角形GCE的面積=6×6÷2=18（cm2）。

顯然，二、三題需要學生對前面公式整理中涉及到的系列推理方法，尤其是等積變形等靈活地進行應用。】

四、課堂總結，暢讀收獲

師：這節課你有哪些新的收獲？