從“無限”走向“極限”
———淺談小學教學中“極限”思想的滲透之路

沈華斌

極限是指用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態的概念。在小學數學的實際教學中，有些教師對極限思想方法的理解及應用還有所忽視，那么極限的思想方法其思想內涵又是什么，與“無限”有著怎樣的聯系，又如何滲透于小學數學教學之中，學生才能感悟其中的極限思想？本文將針對以上問題提出自己的觀點。

一、從“無限”走向“極限”，培養學生無限觀念

由于小學生受年齡特點的限制，他們對具體的、數量有限的事物容易理解，對抽象的、數量無限的事物難于把握。所以要理解“極限”的內涵，可以從“無限”入手，讓小學生首先理解小學數學中的“無限”。

1.圖形無限延伸。

小學幾何概念中有許多概念是具有無限性的，如直線、射線、角的邊、平行線的長度等等，它們都是可以無限延伸的，但是這些概念在現實生活中并不是真實存在的（現實生活中找不到一條能無限延伸的線），它們只是存在于人腦的想象之中，是人腦抽象的結果，而這種想象又是進一步學習數學的必不可少的基礎能力。

2.數量無限多。

現行人教版小學教材中有許多知識點會涉及到數量無限多的情況。在“自然數”、“奇數”、“偶數”、“小數”這些概念教學時，教師可讓學生體會自然數是數不完的；奇數、偶數的個數有無限多個；小數沒有最小的數；通過一點可以畫無數條直線等等。

比如四年級下冊求0.5和0.6之間有幾個小數，答案是無數個，寫不完也數不完，讓學生體會這樣的小數是無窮無盡的。在五年級上冊循環小數這一部分內容中，1÷6=0.1666……商是一個循環小數，它的小數點后面的數字是寫不完的。通過這些方面讓學生初步體會“無限”思想。

以上兩點是從不同方面體現了“無限”的觀念，雖然并不是真正意義上的“極限”，但是，培養學生的無限觀念是初步形成極限思想的基礎，是學生必經的一個階段。

二、從“逼近”走向“極限”，積累極限感性認識

由于小學生的生活經驗、數學知識還比較貧乏，他們只能通過一些具體的事例，逐漸感悟到什么是“無限地逼近”，為將來學習“收斂”這個數學中的概念積累一些感性的認識。因此，逐步理解“逼近”是形成極限思想的另一個重要方面。

例如特級教師張齊華在教學《圓的認識》的片斷：深究圓與正多邊形。

教師在讓學生理解了圓之所以美，是因為在同一個圓里，半徑處處相等，明白這一道理之后，課件出示正三角形，從中心出發，連接三個頂點，三條長度相等。再出示正四邊形、正六邊形、正八邊形，最后是正三十二邊形，正一百邊形，然后讓學生想象，如果是正一千邊形、正一萬邊形，正一億邊形，直至無窮無盡，它就是——圓（學生答）。整個過程其實就是一個正多邊形不斷地逼近一個圓的過程，先通過課件實物引導，再想象無窮無盡多邊形即是一個圓。張老師不斷地引導學生理解隨著邊的無限增多，正多邊形逐漸成為一個圓。

通過課件的不斷演示，從正三角形不斷地向圓“逼近”，在外形上越來越接近一個圓，直至真的成為一個圓，是一個不斷的“逼近”過程。讓學生在觀看課件的同時，逐步理解正多邊形隨著邊數的增多逐漸“無限地逼近”一個圓，在具體的情境中理解“無限地逼近”是一個怎樣的概念。

三、從“感悟”走向“理解”，實踐極限滲透教學

受年齡特征的制約，小學生可能對極限思想不會有深刻的理解，但這并不等于我們在小學數學教學中可以淡化對極限思想的滲透，相反我們應該抓住一切可以利用的契機加以滲透，為他們將來學習極限理論，掌握極限思想，提高抽象思維奠定基礎。

1.概念教學滲透。

如此教學不但能激發學生學習數學的興趣，而且對于發展學生智力，培養學生良好的思維能力是十分有益的，更重要的是滲透給學生極限的思想方法。

2.幾何教學滲透。

片斷二：人教版四年級上冊《直線、射線和角》的教學，有多個滲透極限思想的點。一是直線的兩端、射線的一端（沒有端點）可以無限延伸，教學時，可以借助學生的想象，先讓學生畫一條直線，然后延長，再延長一直到不能畫為止，這時可提問，還可以延伸嗎，直至想象這條直線穿出教室、學校、我們所在的城市、地球的大氣層……，教師讓學生閉上眼睛，自己邊說直線的路徑，邊讓學生體會直線兩端的無限延伸，從中體會其中的“極限”思想；二是經過一點可以畫（）條直線，這里我們可以借助現代化工具制作多媒體課件，在讓學生試畫之后，出示課件，經過一個點的直線，1條、3條、10條、50條、上百條……直至變成近似于以這個點為中心的圓，而這個圓即是答案，個數是無限的，圓則是最終極限的結果。

通過有限想象無限，根據課件出示的數量變化趨勢，想象它們的最終結果。既讓學生掌握了直線的性質，又理解了無限逼近的極限思想。

3.練習教學滲透。

解決這題運用了極限和數形結合兩種不同的思想方法，所以我們的練習設計不能僅僅著眼于一個問題的解決，而是關注學生在解決這個問題中領悟到其中的數學知識及思想方法，更關注在解決問題中充分鍛煉學生的思維能力。

4.公式推導滲透。

片斷四：《圓的面積》。在學生學過一些圖形的面積計算公式后，研究圓的面積公式。先問學生有什么好的辦法，再利用課件演示先把圓平均分成了2份，把兩個半圓拼起來，結果還是一個圓。再多分幾份試一試。課件又接著演示把一個圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拼成正方形。從平均分成4個、8個、到16個……然后問學生的發現，同學們通過分的過程，發現分的份數越多，拼成的圖形就越接近長方形。

課件繼續演示把圓平均分成32個、64個……，教師適時說“如果一直這樣分下去，拼出的結果會怎樣？學生發現拼成的圖形就“真的”變成了長方形，因為邊越來越“直”了。

這個過程中從“分的份數越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“圖形就真的變成了長方形”就是收斂的結果。學生經歷了從無限到極限的過程，感悟了極限思想的巨大價值。以上的推導過程，采用了“變曲為直”、“化圓為方”極限分割思路。