齒隙系統的建模與自振蕩分析

王毅， 何朕， 孟范偉

(1.哈爾濱工業大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.東北大學秦皇島分校 控制工程學院，河北 秦皇島 066004)

齒隙系統的建模與自振蕩分析

王毅1， 何朕1， 孟范偉2

(1.哈爾濱工業大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.東北大學秦皇島分校 控制工程學院，河北 秦皇島 066004)

針對齒隙系統都有自振蕩傾向的問題,給出了自振蕩的條件。分析并說明了當齒隙處于系統中不同的位置上時要用不同的非線性特性來描述。當有力矩傳遞時齒隙的模型應該是用死區特性來描述,死區特性夾在兩個動態環節之間形成了所謂的三明治系統。如果齒隙位于系統的輸出端,則齒隙就具有滯環特性。無論是死區特性或滯環特性的場合,系統都有可能出現自振蕩。分析指出這種三明治系統是由多重反饋回路所構成的,因而存在著固有的穩定性問題。采用描述函數法分析了這種三明治系統產生自振蕩的條件,結論是齒隙的這種三明治系統與帶滯環特性的系統一樣,也是很容易起振的，并給出了改善起振條件的可能措施。

齒隙; 三明治系統; 滯環; 自振蕩; 描述函數

0 引 言

一般常將齒隙特性等同于滯環特性。這是因為早期的小功率伺服系統中齒隙的影響主要是在系統的輸出端。當齒輪之間有力矩傳遞時齒隙就具有死區特性。由于這齒隙死區是夾在兩個動態環節之間的，故也稱為三明治系統。這種三明治系統多見于當今的大型設備，例如火炮和炮塔的控制[1]，大型天線[2-3]，裝載有光學觀測設備的轉臺[4]等。由于三明治系統的動態關系較為復雜，所以常有文獻來討論這類系統的設計、估計和補償問題[1,5]，但是卻很少有文獻來討論這類系統可能存在的自振蕩問題。其實帶齒隙的系統本身就有一種起振的傾向，不過過去往往采取一種默認的態度，例如當火炮指向的自振蕩幅值不超過1 mrad時一般就認為是合格的產品。自振蕩是一種不穩定現象，只有當系統是穩定的，或自振蕩的幅值進入精度允許的范圍內時，這個系統才具有所設計的性能。因此當系統的性能和精度要求越來越高時就需要很好的來處理齒隙所引起的自振蕩現象。本文第1節說明齒隙三明治系統的數學模型，第2節分析齒隙自振蕩和影響自振蕩產生的一些因素，第3節是結論。

1 齒隙系統的模型

機械傳動中的空隙(空回程，backlash)一般也統稱為間隙。如果是齒輪傳動，那就稱齒隙。本文主要討論齒隙的特性。當把間隙看做是一個無慣性、無摩擦的獨立的環節時，其輸入θ1和輸出θ2之間就具有如圖1所示的滯環特性。早期的控制理論文獻中常將齒隙描繪成具有圖1所示的滯環特性是因為齒隙主要出現在系統的輸出端(圖2)，例如早期的小功率伺服系統中是用減速齒輪來帶動自整角機(或旋轉變壓器)的。早年的一些機械式傳感器也常具有滯環特性。由于在這些裝置中所帶動的負載并不大，所以齒隙可用圖1的滯環特性來描述。近年來由于科學技術的發展，越來越多的裝置開始采用自動控制技術，一些減速齒輪實際上也同時在傳遞力矩，例如無線電望遠鏡的大尺寸天線的傳動，火炮炮塔的控制，機械手的控制等。這類系統中，主動齒輪和從動齒輪嚙合后，帶動負載轉動時是需要力矩的。當運動反向時，跨過齒間間隙后又需要反向力矩來帶動負載。所以這類系統的齒隙特性應該用圖3的死區特性來描述。圖中縱坐標τ是電機傳給負載的力矩，橫坐標是電機轉角θ1與負載轉角θ2之差，是輸入輸出之差，這是與一般死區特性的不同之處。特性的斜率代表了齒輪嚙合后的剛度K。圖3的齒隙特性可用方程式描述為

τ=Kδ,δ=DZ(θ1-θ2)。

(1)

式中DZ代表死區特性，有

這里為了突出對主要問題的分析,式(1)的τ只與剛度有關，忽略了與速度有關的阻尼項[1,6-7]。

圖1 齒隙的滯環特性Fig.1 Hysteresis of the backlash

圖2 輸出端齒隙的系統Fig.2 System with output backlash

圖3 齒隙的死區特性Fig.3 Dead zone characteristics of the backlash

式(1)的齒隙特性不是一個獨立的環節，它與前面的驅動電機和后面的負載是相互耦合的。設電機的控制輸入u是力矩，則驅動級的電機方程式為

(2)

式中J1為轉動慣量。設齒隙后面的負載方程式為

(3)

式中：J2為負載的轉動慣量；d2為阻尼系數。

這里J1、J2，以及相應的力矩、轉角等都已是根據減速比n折算到系統輸出端(θ2)的數據。圖4所示為與式(1)～式(3)所對應的框圖 。這框圖所對應的系統是構成本文所討論的齒隙系統的最小系統，也是本文所要討論的帶有齒隙的系統中的控制對象。

圖4 齒隙三明治系統框圖Fig.4 Block diagram of sandwiched backlash

注意到這里的齒隙(死區特性)是介于兩個動態環節之間的，所以有文獻將這類系統稱為三明治系統。要注意的是，這三明治系統的前后兩個動態環節之間是存在著動態聯系的(見圖4)。國內有些研究三明治系統的文獻把三明治系統簡單地看做是中間夾有一個非線性的串聯系統，前后兩個動態環節除串聯之外，相互之間不再有動態聯系。這種簡單的串聯的三明治系統的數學模型只是一種名詞上的套用，脫離了實際的應用背景。事實上齒隙三明治系統的前后兩個環節相互之間是有動態聯系的，更確切說，這個三明治系統的模型本身是一種反饋結構。既然是有反饋存在,就有一個穩定性問題。再進一步，圖4所表示的還只是一個控制對象 ，應用中還要加上負反饋控制器。所以一個實際的齒隙三明治系統的模型是內含齒隙死區的，由多重反饋回路包圍的復雜的非線性動力學系統。因此對三明治系統來說，首先應該是穩定性問題，而這個穩定性主要反映在自持振蕩上。齒隙三明治系統的自振蕩問題目前尚鮮有報道，但是工程問題中這類齒隙自振蕩是實實在在存在的[4]。本文主要是分析齒隙三明治系統的穩定性和自振蕩，為齒隙三明治系統進一步的性能設計提供保障。

2 齒隙系統的自振蕩

設齒隙位于系統的輸出端(見圖2的框圖)，這時齒隙的特性是一種滯環特性。滯環特性容易引起系統的自振蕩。本節用一典型的自振蕩為例來進行分析，作為下面對三明治系統分析時的對比依據。

設控制對象為一電機，控制輸入u是力矩，電機的轉角為θ1，則其方程式為

式中J1為轉動慣量。對應的傳遞函數為

設采用PD控制，則圖2系統中線性部分的傳遞函數為

(4)

本例中設J1=1，KP=10，τ=0.37。本例中滯環的寬度為2Δ(圖1)，Δ=0.1，特性曲線的斜率為1。圖5所示就是此線性部分G(jω)的Nyquist圖。

圖5 滯環系統分析Fig.5 Analysis of the system with hysteresis

圖5中的-1/N則是此滯環特性的描述函數的負倒特性，-1/N上所標的點為A/Δ，A為滯環非線性環節的輸入信號θ1的幅值。

從圖5中兩曲線的走向可以判斷，兩曲線的交點對應為穩定的自振蕩[8]，自振蕩的頻率可讀得為ω=2.44 rad/s。從交點處的-1/N上可讀得A/Δ=1.57，即角度θ1的幅值為0.157。注意到對于所分析的系統來說，系統為Ⅱ型[見式(4)]，其頻率特性G(jω)是在第三象限從左到右的走向，而滯環特性的負倒特性-1/N的走向是第三象限自下而上。不論具體參數如何，二者必然相交。對大多數系統來說，其線性部分的特性G(jω)，在-1點附近都有如圖5所示的G(jω)形狀。由此可見，對大多數系統而言，只要存在滯環特性，一定會出現自振蕩。

圖6所示就是在這組參數下，這個滯環系統(圖2)在初始條件θ1(0)=0.3下的仿真曲線。從圖可見，系統很快進入自振蕩狀態，從圖上可讀得自振蕩的幅值θ1max=0.146，自振蕩的頻率ω=2π/2.9=2.17 rad/s，與上面描述函數法所得的數據基本上是吻合的，描述函數法的分析是可信的。

圖6 滯環系統的輸出響應Fig.6 Output response of the system with hysteresis

現在來考察齒隙三明治系統是否也有起振的傾向。圖7所示是齒隙三明治系統的框圖，圖中虛線以上部分就是帶齒隙的控制對象(參見圖4)。這里仍采用上面滯環系統中同樣的PD控制律，KP=10，τ=0.37。為了對比，仍取J1=1。設剛度K=1 000，取不同的J2值進行仿真。3種情況下的參數見表1。

圖7 齒隙三明治系統Fig.7 System with sandwiched backlash

表1 仿真時的參數Table 1 Parameters of the simulation

圖8所示就是系統在初始條件θ2(0)=0.2下不同參數時的時域響應曲線。圖8(a)的J2=0.01，系統特性以J1為主，所以與輸出端滯環系統的自振蕩響應曲線(圖6)相似。J2增大時的響應曲線雖然與圖6的滯環系統不同，但圖8(b)、圖8(c)表明，系統仍可能起振。

圖8 三明治系統的時域響應Fig.8 Time-domain responses of the sandwich system

齒隙三明治系統的參數雖然較多，但是從下面的理論分析中可以看到出現自振蕩的可能性還是比較大的。現在以表1的第2組數據(J2=0.1)為例來進行說明。根據圖7，圍繞著死區特性共有3個回路，即有3個并聯的回路與它相連。因此在描述函數法中，系統的線性部分特性為

(5)

與線性部分G(jω)相連的死區特性的描述函數為[8]

(6)

圖9為相應的N(A)曲線。

圖9 死區特性的描述函數Fig.9 Describing function for a dead zone

圖10是用描述函數法分析時G(jω)與負倒特性-1/N的圖線。-1/N特性位于復數平面的負實軸上，是-1點左側的整個軸線，當輸入的正弦幅值A增大時-1/N點就向右移動，直到-1點。本例中(J2=0.1)，頻率特性G(jω)與負實軸上的-1/N線相交于-296，即N=0.003 38。這對應于圖9上的Δ/A=0.98，故A=1.02。交點處所對應的頻率從G(jω)上讀得為ω=4 rad/s。

圖10 齒隙三明治系統的分析Fig.10 Analysis of the system with sandwiched backlash

為了進行驗證，圖11所示為對應圖8(b)系統的死區的輸入信號(θ1-θ2)的波形，從圖上可讀得(θ1-θ2)的尖峰值為0.103 2，周期T=2.7 s，即ω=2.33 rad/s。從圖11可以看到，死區特性的輸入信號(θ1-θ2)的峰值只是略微超出Δ，所以死區的輸出只是離散的幾個很小的尖脈沖，與正弦信號的假設相距甚遠，故描述函數法有一定誤差，但是基本上是正確的。圖11與圖10的分析結果基本上是吻合的。

從圖10的分析可以看出，只要系統線性部分的特性G(jω)會從第三象限跨入到第二象限，就會與負實軸上的-1/N相交而形成自振蕩。而這個G(jω)是由多個反饋回路所形成的[參見式(5)]，很可能會穿越負實軸。由此可見，齒隙三明治系統也是很可能起振的。當然圖10也提供了一個消除自振蕩的可能性，即如果能增加負載端的阻尼d2，使G(jω)不進入第二象限，那么理論上是可以消除自振蕩的。

圖11 (θ1-θ2)的波形Fig.11 (θ1-θ2) wave shape

3 結 論

齒隙位于系統的輸出端時(無力矩傳遞)，齒隙特性要用滯環描述，系統會出現自振蕩，這一般都是認同的。但是當有力矩傳遞時，齒隙要用死區特性來描述，死區也同樣會引起自振蕩，即三明治系統也很有可能出現自振蕩，這在文獻中卻少有討論，本文主要是指明了這一點。本文的內容將有助于了解這種自振蕩出現的可能性。另外，就齒隙系統本身來說，本文的工作對于當前正在開展的齒隙補償和有關的優化設計的研究[1,7]也是有益的，可以為齒隙系統的進一步的性能設計提供保障。

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(編輯：劉琳琳)

Modeling and limit cycle analysis for systems with backlash

WANG Yi1， HE Zhen1， MENG Fan-wei2

(1.School of Astronautics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China;2.School of Control Engineering,Northeastern University at Qinhuangdao,Qinhuangdao 066004,China)

For the problems that all systems with backlash are likely to oscillate,the conditions for self-oscillation were discussed.It shows that there are different nonlinear characteristics for the backlash at different positions of the system.If there are torques transmitted through the gear train,the backlash must be modeled as a dead zone,where the system is of sandwich structure: a dead zone between two dynamic blocks.If the gear train is at the output of the system,then the backlash is modeled as a hysteresis characteristic.Whenever in the dead-zone case or hysteresis case,the systems all are likely to oscillate under certain conditions.It is pointed out that for the sandwich system,there are multiple feedback loops surrounding a dead zone,so the stability problem may exist naturally with such system structures.The describing function method is used to analyze the limit cycles of the sandwich system.It shows that the system with sandwiched backlash also has the tendency to oscillate just like a system with hysteresis.Measures to alleviate the problem of self-oscillation were also discussed.

backlash; sandwich system; hysteresis; limit cycle; describing function

2016-05-30

國家自然科學基金 (U1564207)

王 毅(1967—)，男，博士，副教授，研究方向為高精度伺服系統和摩擦補償； 何 朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向為控制系統設計、魯棒控制及H∞控制等； 孟范偉(1981—)，男，博士，講師，研究方向為魯棒控制與H∞控制。

孟范偉

10.15938/j.emc.2017.03.011

TP 273

A

1007-449X(2017)03-0078-05