談一個數列極限的求法

關鍵詞：數列極限；定積分定義；瑕積分

若選用了高等教育出版社出版的《數學分析》第三版（上冊）作為教材的人可能會發現該書第66頁處有這樣一道習題：

第24題（4）小題：

與式（1）的形式進行對比，就會發現，我們只需將式（1）中的數列求倒數后取其對數后可得到（2）式。于是可直接引用（1）式結論（式（1）的證明較易，在這里不再贅述）有：

但是，我們很快會發現被積函數在Inx在[0，1]上的O點不連續，甚至無界。我們通常在利用定積分定義來求數列極限時要求被積函數應在所考慮的閉區間上連續。于時，我們為了避免以上情況的出現，可考慮采用夾逼法來求解極限。

再將（2）式變形為：

以上解法的確繞過了Inx在0處的障礙，使問題得到了完整的解決。但我們回過頭來對式（3）進行觀察即會發現為一瑕積分，且在區間上收斂。試想一下，我們能否通過瑕積分使問題得到解決？

在《數學分析講義》第三版中對在區間（a，b]上，以a為瑕點的瑕積分給了如下定義：

由以上定義可以看出該定義及求值奠基于定積分基礎之上，若將兩定義結合可得到關于瑕積分原始的定義如下。

定義：設f（x）在區間（a，b]上以a為瑕點，取0<？濁

以上建立于補充定義基礎上的解題過程，反映了解決這一類極限問題的一般方法。而對于其他極限問題，特別是當作成的瑕積分發散的情況，又需要另作討論。

參考文獻：

[1]劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（上冊）[M].高等教育出版社，1997.

[2]孫家永.解題方法與技巧.高等數學研究，2001.

作者簡介：李永安，男，1981年1月出生，大學本科，就職于四川省雅安中學，研究方向為中學數學教育。

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