變式遞進設問 探究問題本質

王磊 劉娟

【摘要】 本文針對一個橢圓定值、定點問題的解題與教學，采用層層遞進的方式進行探究升華，在解決原問題的同時，又在原問題的基礎上給出一系列連續性的問題情境，引導學生主動思考，達到對問題的深刻理解，并感受解決一類問題的基本思路.

【關鍵詞】 變式遞進設問；探究問題；教學設計

【基金項目】 本文由安徽省大學生創客實驗室建設計劃項目“數據 分析與仿真創客實驗室”（2015ckjh080）和安徽省大學生創新創業計劃（201611059322，201611059338）資助.

圓錐曲線的定值、定點問題始終是高中數學考查的重點，更是教學的難點.該問題對學生的整體分析計算能力要求較高.在師范生教學設計課上，筆者設計一道二輪復習橢圓的定值、定點問題時，采用了以一道題為起點，層層遞進設問，引導學生各個擊破，最后，將類似問題拓展到拋物線和雙曲線中的教學策略.下文將呈現這一過程與各位共享，歡迎批評指正.

一、題目原型

引例 已知橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>0，b>0）的左焦點F為圓x2+y2+2x=0的圓心，且橢圓上的點到F點距離的最小值為 2 -1.

（1）求橢圓方程；

（2）已知經過點F的動直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，點M - 5 4 ，0 .

證明：MA ·MB 為定值.

分析與思考 （1）該問考查的是基礎知識和基本概念；

（2）該問是一個有關橢圓定值、定點、動直線的綜合問題.F是定點，動直線l過F，故自然想到設l的“點斜式方程”，又F位于x軸上，所以，可以引導學生將l的“點斜式方程”設為以y為自變量、x為因變量的形式，以減少參數的個數.這樣就有一種特殊的情況需要單獨討論，即l關于y軸的斜率為無窮大的情況，也就是l與x軸重合的情況.這種特殊情況下，l與橢圓的交點A，B即為橢圓的左、右端點，通過直接計算即可得到此時的MA ·MB 的值 - 7 16 .又題目要求證：當l動時，MA ·MB 為定值，這樣就可以引導學生利用前面所設l的方程與橢圓方程相結合，利用韋達定理并結合定點M的坐標朝著- 7 16 的方向證明即可.

為方便下文敘述，現將該題的解題過程簡述如下：

（1）橢圓方程為 x2 2 +y2=1，解題過程略；

（2）F（-1，0），當動直線l為x軸時，MA ·MB = - 2 + 5 4 ，0 · 2 + 5 4 ，0 = 25 16 -2=- 7 16 ；

當動直線l不與x軸重合時，設直線l的方程為x=ky-1，

聯立橢圓方程可得（k2+2）y2-2ky-1=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

y1+y2= 2k k2+2 ，yy=- 1 k2+2 ，

MA ·MB =

（k2+1）y1y2+ 1 4 k（y1+y2）+ 1 16

=- k2+1 k2+2 + k2 2（k2+2） + 1 16 =- 7 16 .

綜上所述，MA ·MB 為定值- 7 16 .

二、層層遞進設問、追逐問題根源

在上面的引例講解完畢后，可再次引導學生回到題目中，我們可以看到，在題目的第二問中有一個特殊點M，其位于x軸上，該點擁有特殊功能，即使得MA ·MB 為定值.自然可以引導學生考慮，在x軸上是否還存在其他的具有這種特殊功能的點N.可設問如下：

變式1 在x軸上，除了M - 5 4 ，0 外，有沒有其他定點N，也使得NA ·NB =- 7 16 ？

分析與思考 解決這個問題的過程并不難，只需要將證明過程中的定點M - 5 4 ，0 換成N（x0，0）即可.但問題的本質已發生改變，由證明定值問題轉變為探究存在性問題，通過類似的推導過程（l與x軸重合的情況略），可以得到如下的表達式

NA ·NB =- （2x0+3）k2+1 k2+2 +（1+x0）2， （1）

其中k表示動直線l關于y軸的斜率，是一個動值，其取值范圍為（-∞，∞）.故由（1）可知，要使NA ·NB 為定值，必須2x0+3= 1 2 ，即x0=- 5 4 .

故在x軸上除M - 5 4 ，0 外，再也沒有任何一點滿足條件.

在變式1中，盡管獲得了除M - 5 4 ，0 以外在x軸再也沒有任何一點滿足條件.但，顯然并沒有窮盡平面中的所有點.故可繼續設問如下：

變式2 在坐標平面內，除了M - 5 4 ，0 點外，有沒有其他定點N，也使得NA ·NB 為定值？

分析與思考 類似地，引導學生將變式1分析與思考過程中的N（x0，0）替換為N（x0，y0），進而分析計算可得如下的表達式

NA ·NB =- （2x0+3）k2+2ky0+1 k2+2 +（1+x0）2+y20. （2）

因k為動值，故要使NA ·NB 為定值，必須2x0+3= 1 2 且y0=0，即x0=- 5 4 且y0=0.

故在坐標平面內除M - 5 4 ，0 外，再也沒有任何一點滿足條件.

通過變式1和變式2的探究我們發現，在原始的引例的第二問中，M - 5 4 ，0 是使得MA ·MB 為定值的唯一點，這蘊含著一種充分必要關系：MA ·MB 為定值當且僅當M的坐標為 - 5 4 ，0 .從而達到對這個題目的深刻理解，加深記憶.進一步可將這個問題進行一般化，提出如下問題：

變式3 設橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的右焦點為F（c，0）（c>0），過F點的直線l交橢圓C于A、B兩點，問是否存在定點N（x0，y0），使得NA ·NB 為定值？若不存在，請說明理由.

分析與思考 這個問題比原問題少了數字常數、多了字母參數，可引導學生共同分析如下：當直線與x軸重合時的情況，這里省略.當動直線l不與x軸重合時，可得類似于（1）和（2）的表達式

NA ·NB =- [2b2c（c-x0）+b4]k2+2b2cky0+b4 b2k2+a2 +（x0-c2）2+y20. （3）

其中k表示動直線l關于y軸的斜率.要使NA ·NB 為定值，必須 2b2c（c-x0）+b4 b2 = b4 a2 且y0=0，得x0=3c-ce2.故，得到N存在且唯一，其坐標為（3c-ce2，0），確在x軸上.

三、問題在拋物線和雙曲線中的拓展

因圓錐曲線包含橢圓、拋物線、雙曲線這三類，它們形式不同，但都有著一些內在的共同性質.故在探究完上一節的變式3后，可以繼續將這一問題拓展到拋物線中.設問如下：

變式4 對拋物線也有類似的性質嗎？

設過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F p 2 ，0 作直線l：x=ky+ p 2 ，交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，在坐標平面內是否存在定點N（x0，y0），使得NA ·NB 為定值？若不存在，請說明理由；若存在，求出定點坐標.

分析與思考 同橢圓的分析思路和方法，可得如下表達式

MA ·MB =-2px0n2-2py0n-p2+ p 2 -x0 2+y20，

顯然，當且僅當x0=y0=0，即M（0，0）時，使得MA ·MB 為定值- 3 4 p2.

四、總 結

通過上面的變式探究，我們得出結論：過橢圓的焦點作直線交橢圓于A，B兩點，在平面內有且只有一個定點M，使得MA ·MB 為定值；過拋物線的焦點作直線交拋物線于A，B兩點，在平面內有且只有該拋物線的頂點M，使得MA ·MB 為定值；雙曲線的情況，我們可以同樣變式探究，得出與橢圓、拋物線類似的結論.