“圖形”的奧妙

宋建軍

【摘 要】數學大體上圍繞兩個概念進行提煉、演變、發(fā)展，進而展開，那就是“數”與“形”。而“數形結合思想”就是把抽象難懂的數學語言、數量關系與直觀形象的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，在概念教學、計算教學、解決問題等課堂教學中靈活運用，可以使相對的復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而提高課堂教學的有效性。

【關鍵詞】數形結合；概念教學；計算教學；解決問題

知識和技能是數學的“雙基”，而數學思想方法則是數學的靈魂。“數”和“形”是數學的兩個基本概念，而數學大體上就是圍繞這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展而逐步展開的。“數形結合”是數學教學中一道亮麗的風景線，也是一種智慧的數學方法。“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”我國著名的數學家華羅庚所寫的這首小詩形象、生動、深刻地指明了“數形結合”的價值，也揭示了“數形結合”的本質。數形結合思想在小學數學中有著廣泛的應用，本文就來談談小學數學中“數形結合”思想方法的運用。

一、概念教學：運用“數形結合”化抽象為形象

數學概念是數學知識結構中最基本的材料，只有掌握了數學概念，才能更好地了解知識、學習知識、掌握知識。而小學生對抽象的概念，基本上處于感性直觀的認識階段，如果能把抽象的數學概念與形象的圖形結合起來，就可以把復雜的問題簡單化，抽象問題形象化，使學生易于理解和接受。

1.運用“數形結合”——促概念“形成”

形成概念就是學生從許多具體事例中以歸納的方式概括出一類事例的本質屬性。數學概念的形成不是靠老師“傳授”出來的，而是靠學生自己去“建構”的。這個建構的過程是完整的思維加工過程，是一個從外部活動向內部活動轉化的“內化”過程。那么在教學時，我們怎樣幫助學生落實概念的形成呢？我認為最好的辦法是“數形結合”，可以直觀地將比較抽象的概念轉化為具體的、清晰的事物，使學生容易理解和掌握，從而較好地幫助學生形成概念。

2.運用“數形結合”——使概念“內化”

學生能背誦概念并不等于真正理解概念，還要通過實例突出概念的主要特征，幫助他們加深對概念的理解來內化概念。在概念揭示后往往要針對教學要求組織學生進行一些練習，通過實例突出概念的主要特征幫助他們加深對概念的理解，來內化概念。

如在教學《百分數的認識》一課時，歸納了什么是百分數之后，我設計如下環(huán)節(jié)：

聯系生活，解讀百分數（請讀出下面百分數，并選兩個說一說這百分數表示什么？）

（1）邵宅小學503班人數占全校人數的4.45%，全校男生人數是女生人數的135.6%。

（2）■

（3）■

通過第一個環(huán)節(jié)對百分數的初步感悟，學生試著用所學的知識去正確解釋生活動中的數據，在“聯系生活，解讀百分數”這一環(huán)節(jié)中，不只停留在文字的層面說百分數，而是增加了線段圖與百格圖，運用了“數形結合”的思想，在互相交流和向大家介紹的過程中，學生感受、領悟到這些百分數的正確含義，從而內化了百分數的意義。

3.運用“數形結合”——讓概念“深化”

深化概念是加深理解和靈活運用概念的過程，即從一般到個別的過程。平時學生難以深化概念往往是因為沒有經歷“將豐富的感性材料加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里”的改造過程，而數形結合能使比較抽象的概念轉化為清晰、具體的事物，從而讓學生更好地發(fā)現事例的本質屬性或規(guī)律，能靈活運用概念，深化概念。

如，在《倒數》一課中，乘積是l的兩個數互為倒數——倒數的概念對于學生來說并不難理解，從教材的編排上看，“倒數的認識”是為后面學習分數除法而專門設置的。學生對這個概念的理解僅僅停留在對語義理解的層面上，形象的解釋為分子分母互問顛倒的兩個數互為倒數倒數的概念，除了為后面學習分數除法做準備外，恰當的利用“數形結合”的思想，使分數與數軸上的點之間有機的聯系起來，使學生的思維得到飛躍。

我設計了這樣幾個練習，使學生感悟“數形結合”思想。通過找倒數并標在數軸上這一活動，由于已經看到了真分數與假分數分別在1的左右兩邊。學生很快得出了“真分數的倒數都大于1，假分數（不等于1）的倒數小于1”的結論。有些學生還發(fā)現了“分數越大倒數越小的規(guī)律（分數大于0）”。數軸上找倒數，深化對“倒數”的認識。由于數軸實現了數與形的聯姻，將數與直線上的點建立了對應關系。揭示了數與形的內在的聯系，數軸使抽象的數有“形”可依。

二、計算教學：運用“數形結合”剖算理探規(guī)律

1.運用“數形結合”——促“算理”理解

在數學教學中，很多老師只重視計算方法的教學，忽視算理教學。結果，部分學生雖然掌握計算方法，但因為算理不清，知識遷移的范圍就有限，不能靈活應用。學生不能理解算法主要是因為沒有實現“將抽象的算法具體化”和“從具體中進行抽象”這樣兩個轉化，數形結合能夠幫助學生實現算法具體化與抽象性兩者之間的高度統一，幫助學生理解算理。

2.運用“數形結合”——利“對錯”辨析

在計算時，學生的計算很容易出錯，如學生在計算1.3× 1.2時提出了這樣的方法：1×1+0.3×0.2，很多老師都會讓學生再算一遍，看看左右兩邊是不是一樣，不一樣，所以錯了。這樣學生不知道為什么錯了，下次還會出現這樣的錯誤。我在

（下轉第17頁）

（上接第16頁）

上這內容時就運用了數形結合的思想來幫助學生澄清錯誤。

3.運用“數形結合”——引“規(guī)律”探索

探索規(guī)律就是根據條件（有規(guī)律的數列、算式、圖形等信息）從簡單情況或特殊情況入手，進行歸納（即從個性中找出共性）、得出結論，再通過實例加以驗證。學生不容易探索規(guī)律主要是因為沒有經歷無序到有序的過程，沒有多種感官參與探索，沒有充分的思考時間與空間，沒有具備一些相關的知識和能力，數形結合有利于培養(yǎng)學生的觀察能力、抽象能力、推理能力、發(fā)散思維能力和數學建模能力。

三、解決問題：運用“數形結合”明思路破難點

1.運用“數形結合”——理清“數量關系”

小學生主要是憑借事物的具體形象來進行直觀思維活動的，但小學許多解決問題所明確的數量關系通常需要通過抽象思維來理解，這是在小學解決問題教學中存在的突出矛盾，如把解決問題中抽象的數量關系用恰當的、形象的圖形表示出來，就可較好地解決這一矛盾。

如：一桶油，連桶共重15千克，吃了一半油后，連桶重8千克。吃掉了多少千克油？原來滿桶的油重多少千克？分析：桶和油之間到底是一種什么樣的數量關系；吃了一半油后，桶和油之間又是一種什么樣的數量關系？學生對此類數量關系大都感到十分抽象，不容易很快理解。如運用下面形象的圖形來表示它們之間的數量關系，同學們馬上就一目了然，明白了桶、油的關系，巧妙地解決了這個問題。

空桶 油

沒吃前： ○ 十■= 15千克

吃一半后：○ 十■= 8千克

可見，在解決問題的學習中充分滲透數形結合的思想，把題中抽象的數量關系用恰當的圖形直觀的表示出來，十分有助于學生分析問題、解決問題能力的提高，收到事半功倍的效果。

2.運用“數形結合”——攻克“解題難點”

化解難點就是分解教學難點，做到化難為易、由淺入深、直觀形象。學生不能化解難點主要是因為不能實現將抽象的內容具體化、形象化、直觀化，數形結合能夠化抽象為具體、化復雜為簡單、變生疏為熟悉、變深奧為淺顯。

所以，數形結合思想是數學解題中常用的思想方法，尤其在小學數學中，使用數形結合的方法，能夠使很多復雜的數學問題迎刃而解，且解法簡捷。

3.運用“數形結合”——拓展“解題思路”

小學生的數學學習，正處在以形象思維為主，向抽象思維過渡的階段。許多數學問題多以文字形式呈現，純文字的問題語言表述上比較簡潔，枯燥乏味，致使他們常常讀不懂題意。根據其年齡特點，滲透“數形結合”思想，讓學生自己在紙上涂一涂、畫一畫，借助直觀的圖形把抽象的數學問題具體化，還原問題的本來面目，使孩子讀懂題意、理解題意，拓展學生解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關鍵，從而提高學生解決問題的能力。

總之，數形結合的思想滲透在數學教學的每一個領域，教師只有在平時的教學中扎實落實“數形結合”的思想，學生面對問題時就會站得更高、思路更廣，對數學的理解會由量的積累發(fā)展到質的飛躍，使我們的課堂更高效。

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