例談波利亞“怎樣解題表”在初中數學解題教學中的應用

劉紅杏 劉君

【摘要】在初中數學教學活動中，提高解題能力是培養學生數學才能和教會其思考的一種重要手段和途徑.而波利亞的“怎樣解題表”為我們提供了一套系統的探索解題途徑，有利于掌握解題過程的一般規律.本文將結合初中數學中的平行線的判定及性質，例談“怎樣解題表”在初中數學解題教學中的應用.

【關鍵詞】解題表；初中數學；平行線的判定和性質

一、波利亞的數學思想解題簡介

他將傳統的單純解題發展為通過解題獲得新知識和新技能的學習過程，他的目標不是找出可以機械地用于解決一切問題的“萬能方法”，而是希望通過對于解題過程的深入分析，總結出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發的作用.因此，波利亞曾指出：“中學數學教學的首要任務就是要加強解題的訓練.”而這種“解題”并不同于“題海戰術”，他認為解題應該作為培養學生的數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑.

二、波利亞的“怎樣解題表”簡介

這張解題表看似簡單，實際上它給出了一套解決數學問題的一般方法與模式，同時還揭示了解題中的思維方法和思維過程.即：如何理解題目、如何擬訂方案、如何執行方案、如何回顧反思.

（一）第一步：弄清題意

1.已知是什么？未知是什么？

2.條件是什么？結論是什么？

3.畫出草圖，引入適當的符號.

（二）第二步：擬訂計劃

1.見過這道題或與之類似的題嗎？

2.能聯想起有關的定理或公式嗎？

3.再看看未知數！

4.換一種方式來敘述這道題.

5.回到定義看看！

6.先解決一個特例試試.

7.這個問題的一般式是什么？

8.你能解決問題的一部分嗎？

9.你用了全部條件嗎？

（三）第三步：實行計劃

實現你的解題計劃并檢驗每一步驟，證明你的每一步都是正確的.

（四）第四步：回顧

1.檢查結果并檢驗其正確性.

2.換一個方法做這道題.

3.嘗試把你的結果和方法用到其他問題上.

三、波利亞解題表在平行線的判定及性質中的應用

如何能讓學生對平行線的判定及性質的相關問題形成一套規范的解題思路，養成良好的解題習慣，拓展學生的解題思維呢？本文結合波利亞“怎樣解題表”中的數學思想對平行線的判定及性質中的一道實例進行分析.運用波利亞“怎樣解題表”中的數學思想進行系統分析，例談“怎樣解題表”

在初中數學解題教學中的應用.

例如圖，已知∠1+∠2=180°，∠1=∠A，∠BFG=60°，求∠ACB的度數.

（一）弄清問題

以本題為例，我們可以自我提問，已知量是什么？未知量是什么？條件是什么？結論是什么？進而得出本題未知量是∠ACB的度數，已知量是∠BFG=60°，條件是∠1+∠2=180°，∠1=∠A，而由∠1+∠2=180°可以初步得到結論AB∥DE.

（二）擬訂計劃

本題是要求出∠ACB的度數，條件是∠1+∠2=180°，∠1=∠A，∠BFG=60°，由∠1+∠2=180°，而∠1+∠DEG=180°，所以∠DEG=∠2，進而初步得到AB∥DE，得到一組平行關系之后，此時就該再想還有哪些已知條件沒有用到？進而想到∠1=∠A和∠BFG=60°這兩個條件沒有用到，特別注意到∠1=∠A這個條件在AB和DE這組平行關系里，有∠1=∠BGF，想要求出∠ACB的度數，如果有AC∥GF，那么利用∠BFG=60°就可以了，因此，本題的關鍵就落在能否證出AC∥GF，那么又因為∠1=∠BGF，且∠1=∠A，所以得到∠A=∠BGF，所以AC∥GF.

（三）實現計劃

∵∠1+∠2=180°且∠1+∠DEG=180°，（已知）

∴∠DEG=∠2，（等量代換）

∴AB∥DE，（內錯角相等，兩直線平行）

∴∠1=∠BGF，（兩直線平行，同位角相等）

又∵∠1=∠A，（已知）

∴∠A=∠BGF，（等量代換）

∴AC∥GF，（同位角相等，兩直線平行）

又∵∠BFG=60°，（已知）

∴∠ACB=∠BFG=60°.（兩直線平行，同位角相等）

因此對于本題而言，每個步驟都可以確實地解釋清楚，可以清楚地看出每一個步驟的正確性.

（四）回顧反思

在這四個階段中“實現計劃”較為容易，需要的只是解題者的耐心和認真；“弄清問題”則是成功解決問題的前提；“回顧”是最容易忽視的一個環節，通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個結果和得出這一結果的思路，可以鞏固學生的知識和發展學生的解題能力，進一步形成認知能力.

波利亞主張在解題教學中要善于選擇一道有意義但又不太復雜的題目去幫助學生深入挖掘題目的各個側面，使學生通過這一道題，就如同通過一道大門進入一個嶄新的天地.