突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重探索發(fā)現(xiàn)

張靜

【摘要】繼“問題的解決”之后，“數(shù)學(xué)理解”已成為世界數(shù)學(xué)教育界如今所關(guān)注的又一中心話題.筆者基于英國(guó)數(shù)學(xué)教育家R·斯根普提出的兩種數(shù)學(xué)理解模式，對(duì)“正弦定理”教學(xué)進(jìn)行了實(shí)踐.闡明教師如何教會(huì)學(xué)生自主合作探究，如何讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)現(xiàn)過程，從而突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)探索.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解；正弦定理；教學(xué)設(shè)計(jì)

一、正弦定理教學(xué)實(shí)踐及評(píng)析

（一）創(chuàng)設(shè)情境

映入眼簾的是雄偉的天山（新疆的象征）（教師展示PPT），但天山也給南北疆的交通帶來(lái)了不便.如果我們想縱橫天山修一條隧道，就需要取得相關(guān)的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)有些是可以測(cè)得的，有些數(shù)據(jù)是要通過計(jì)算獲得的，怎樣準(zhǔn)確測(cè)量，又怎樣計(jì)算？今天我們將要學(xué)習(xí)的正弦定理，將有助于這類問題的解決.

【設(shè)計(jì)意圖】通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，引發(fā)探究新知的欲望，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)和我們的生活是息息相關(guān)的.

（二）正弦定理的發(fā)現(xiàn)

1.第一次發(fā)現(xiàn)

問題1：下面請(qǐng)同學(xué)們看日常生活中我們常見的一個(gè)問題，房屋與地面的距離為3 m，要對(duì)屋頂進(jìn)行維修，需要沿著與地面成40°夾角的梯子登到屋頂上，請(qǐng)大家思考，梯子長(zhǎng)至少為多少米？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述呢？

針對(duì)問題1師生活動(dòng)如下：

生：用3比sin40°，這個(gè)問題其實(shí)是解直角三角形.用符號(hào)語(yǔ)言可以表述如下：已知，在△ABC中，B=40°，C=90°，b=3 m，求c.

師：很好，其實(shí)這個(gè)生活中的小問題就是我們數(shù)學(xué)中是已知△ABC的“角角邊”，要求其中一角的對(duì)邊.請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步思考下面的問題.

問題2：由于地基不穩(wěn)，房屋發(fā)生了傾斜，墻面與地面夾角為93°，需要沿著與地面成40°夾角的梯子登到屋頂上，大家想想梯子長(zhǎng)至少為多少米？

師生活動(dòng)如下：

師：你來(lái)說說，你想到什么辦法算出梯子的長(zhǎng)了呢？

生：這個(gè)題和剛才一樣，也是解三角形，可以先把他轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，只不過……它不是直角三角形，我不知道怎么辦了.

師：轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型即，已知在△ABC中，B=40°，C=93°，b=3 m，求c=？請(qǐng)大家對(duì)照?qǐng)D1，h是我們房屋……

生：老師，我知道啦！和第一個(gè)問題一樣，首先c=hsinB，而h是未知的，所以再用一次解直角三角形，sin∠DCA=hb，就可以求出h，h=bsin∠DCA代入c=hsinB=bsin∠DCAsinB，就算出來(lái)了.

師：真棒！這個(gè)式子左邊是一邊，右邊是比值的形式，并且有邊有角，大家能不能整理一下，讓這個(gè)式子清晰、明了？

（很快，有學(xué)生說，可以cb=sin∠DCAsinB，有學(xué)生說，csin∠DCA=bsinB）

師：大家說的都很好，我們可以把上面的式子化成是等號(hào)左右兩邊對(duì)稱的式子，你認(rèn)為哪一種更美、更對(duì)稱呢？

生：第二種，第二種更對(duì)稱.

問題3：好，我們也可以把上式寫成csinC=bsinB.請(qǐng)同學(xué)們猜想一下，在一般三角形中這個(gè)性質(zhì)成立嗎？

師生活動(dòng)如下：

師：無(wú)論成立不成立，是不是要通過證明呢？誰(shuí)來(lái)說說，我們要證什么？

生（齊聲）：asinA=bsinB=csinC.

師：很好，也就是說，我們需要證明asinB=bsinA，asinC=csinA（一邊放ppt）.

生：哦，asinB，bsinA均表示△ABC的邊AB上的高，從而asinB=bsinA成立.

師：很好，我們用同樣的方法，也可以證明asinC=csinA成立.所以我們說在任意角形中，都有asinA=bsinB=csinC.

【設(shè)計(jì)意圖】教師沒有開門見山地將定理的內(nèi)容告訴學(xué)生，而是借用銳角三角函數(shù)，通過實(shí)例中地基變化將直角三角形中的問題，自然地引申到任意三角形中，并逆向使用這個(gè)過程推得定理.通過對(duì)任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明過程，使學(xué)生感受“類比—猜想—證明”的科學(xué)研究問題的思路和方法.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理在形式上具有對(duì)稱美.

2.第二次發(fā)現(xiàn)

問題1：我們知道，在直角三角形ABC中，邊和其所對(duì)的角的正弦值之比的幾何意義是斜邊c.那么在一般的三角形中，我們猜想，邊和其所對(duì)的角的正弦值之比是否也等于某一固定值，并且也具有某種幾何意義呢？

師生活動(dòng)如下：

師：我們?cè)囅耄谝话愕娜切沃校泊嬖谂c之相應(yīng)的比值k使asinA=bsinB=csinC=k，那么請(qǐng)同學(xué)們考慮一下這個(gè)固定的比值k是由△ABC中那些元素唯一確定呢？

生：由△ABC的一條邊和一個(gè)角確定的.

師（追問）：哪個(gè)角呢？

生：這條邊的對(duì)角.

師：很好，那么請(qǐng)大家思考當(dāng)△ABC的一條邊及其對(duì)角的大小確定時(shí)，這個(gè)三角形的形狀是不是唯一確定的？

生：不確定.

問題2：顯然當(dāng)△ABC的一條邊及其對(duì)角的大小確定時(shí)，這個(gè)三角形的形狀并不是唯一確定的.請(qǐng)大家觀察大屏幕（演示課件），同時(shí)請(qǐng)大家思考思考：當(dāng)△ABC的一條邊BC的大小和位置固定，并且其對(duì)角A的大小也確定時(shí)，這個(gè)三角形的形狀會(huì)發(fā)生什么樣的變化？頂點(diǎn)A的軌跡是什么呢？

生：會(huì)隨著頂點(diǎn)A的位置的變化而變化，A由低變高，再變低，我猜A的軌跡可能是一條圓弧.

生：對(duì)，可以利用角A確定，BC邊確定，根據(jù)BC邊所對(duì)的角A是相等的，而在圓中同弧所對(duì)的圓周角也是相等的.

師：很好，我們來(lái)看大屏幕，頂點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段圓弧.請(qǐng)大家結(jié)合三角形的這個(gè)外接圓思考，這個(gè)比值k等于什么呢？（演示課件）

生：當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到△ABC是直角三角形時(shí)，這個(gè)比值k正好是這個(gè)三角形外接圓的直徑.

師：很好，和剛才發(fā)現(xiàn)正弦定理一樣，我們通過類比直角三角形，又獲得了一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)：asinA=bsinB=csinC=2R.

【設(shè)計(jì)意圖】本設(shè)計(jì)中教師重視引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比、歸納、實(shí)驗(yàn)、檢驗(yàn)，從而讓學(xué)生自然而然地理解正弦定理的比值為什么等于外接圓的直徑.

（三）正弦定理的應(yīng)用及小結(jié)

下面我們就用正弦定理來(lái)解決上課開始提出的問題.

為了測(cè)定天山某預(yù)修隧道A地到C地的距離，在其附近選定1公里長(zhǎng)的基線AB，并測(cè)得B=120°，C=45°，如何求A，C兩點(diǎn)的距離？（請(qǐng)學(xué)生思考并回答.）

學(xué)生總結(jié)：1.應(yīng)用正弦定理可以解決什么樣的三角形問題？

2.本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

思考題：1.“已知三角形的三條邊（SSS）或邊角邊（SAS），如何求其余邊與角？”

2.課后利用網(wǎng)絡(luò)資源，查詢數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)家是怎樣發(fā)現(xiàn)正弦定理的.

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的兩次知識(shí)發(fā)生的過程，使學(xué)生頭腦中形成關(guān)于本課內(nèi)容的一個(gè)清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)體會(huì)歸納—類比數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí).提出的思考，即對(duì)所解決的問題進(jìn)行變式，為后面要學(xué)習(xí)的余弦定理作鋪墊.補(bǔ)充讓學(xué)生查詢正弦定理發(fā)現(xiàn)的歷史過程，可以促進(jìn)學(xué)生全面、系統(tǒng)地理解正弦定理.

二、幾點(diǎn)思考

綜觀上述案例，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)方面，有以下三點(diǎn)精彩之處.

（一）在課堂中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美的能力，讓學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美

案例中教師通過引導(dǎo)學(xué)生感受任意三角形中的正弦定理具有的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中的對(duì)稱和和諧無(wú)處不在，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí).

（二）注重?cái)?shù)學(xué)定理的形成過程，讓學(xué)生親歷知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”的過程，深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)

本節(jié)課最后，教師布置學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源查詢數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)正弦定理的發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)是數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂中的隱性滲透，不僅可以加深對(duì)于正弦定理的理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更重要的是，幫助學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生和發(fā)展過程，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)發(fā)展既有來(lái)自數(shù)學(xué)外部的實(shí)際需求，也有來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯理論的需要.

（三）注重?cái)?shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力

在該教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師通過不斷刺激學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使得學(xué)生根據(jù)問題情境進(jìn)行自我組織，通過自己探索發(fā)現(xiàn)，最終順理成章的發(fā)現(xiàn)正弦定理并得到正弦定理的比值為2R.培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)新性，并在發(fā)現(xiàn)過程中體驗(yàn)了成功的愉快感.

三、基于R·斯根普提出的“數(shù)學(xué)理解類型”對(duì)本節(jié)課的再思考

R·斯根普認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，通常有兩種含義迥然不同的數(shù)學(xué)理解模式：工具性理解和關(guān)系性理解.就數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)而言，斯根普明確指出，更多的理解應(yīng)當(dāng)定位于“關(guān)系性理解”即最終我們應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生獲得的是“關(guān)系性理解”.

通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)課堂中，“工具性理解”的教學(xué)形式是比較容易獲得明顯的教學(xué)效果，卻對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維方法、學(xué)生的情感關(guān)注度較少，不利于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中知識(shí)遷移的發(fā)生，也不利于他們對(duì)整個(gè)知識(shí)體系的掌握和理解，更不利于其長(zhǎng)期數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和提高.但數(shù)學(xué)中更多帶有普遍意義的是概念、定理形成的背景、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維過程、問題解決與知識(shí)間相互關(guān)聯(lián)的實(shí)質(zhì)，這些往往都可以通過“關(guān)系性理解”的教學(xué)方式來(lái)學(xué)習(xí)，這對(duì)學(xué)生弄清楚概念、定理、命題的來(lái)龍去脈，真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)及長(zhǎng)遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有益的.