淺談初中數學幾何證明的三種思維

沈忠華

摘 要：幾何證明題是初中數學非常重要的一項內容，學好幾何證明題對提高數學成績有重要作用。做好幾何證明題，需要掌握多種解題的思維方法，只有靈活運用這些思維方式才能快速正確解題。主要對正向思維、逆向思維、正逆結合三種思維方式在幾何證明題中的應用進行探討。

關鍵詞：初中數學；幾何證明；思維方式

幾何證明題在初中數學學習中占有重要位置，是初中數學學習的一項重要內容，幾何題的證明一直是困擾學生的一個難題。要學好幾何證明題，需要開闊學生的思維方式，靈活運用多種思維方式和解題方法，就能學好幾何證明題。筆者結合教學初中實踐對幾何證明題的三種常用思維方式進行探討。

一、運用正向思維進行證明

運用正向思維方式進行幾何題的證明是最常用的一種方法，特別是對于一般的題目，運用正向思維就能容易解決，只有根據題目給出的已知條件，向要得到的結果方向逐步證明推理就能把題目證明好。

例1.證明：等腰△ABC兩底的角平分線BD=CE。

解題分析：本題用正向思維方式進行證明，只要已知條件，尋找三個條件來證明△BDC與△CEB全等，就能證明兩條角平分線相等。

證明過程：根據圖1和題目已知條件可得出AC=AB

根據等邊對等角可知：∠ACB=∠ABC，∵CE與BD是角平分線，根據其定義可得出：∠BEC=∠ECA+∠A，∠CDB=∠DBA+∠A，根據角平分線的性質可得∠ECB=∠DBC∴可得出∠BEC=∠CDB，在△BCD和△CBE中，根據三個條件：BC=BC，∠BEC=∠CDB，∠ECB=∠DBC，根據角邊角定理可得出：△BEC≌△CDB，∴可得出CE=BD，此題得證。

二、運用逆向思維進行證明

證明幾何題還可用逆向思維方式進行證明，通過運用多種方式和方法進行幾何題的證明，能培養學生的思維發散能力和創新能力。

例2.學習勾股定理時曾有這樣一道幾何證明題，現用逆向思維方式證明。證明：+=（a、b為兩條直角邊，h為斜邊c上的高）

解題分析：在本題的證明中，運用逆向思維方式，從結論開始著手進行推理證明，能減少一些沒有必要的運算過程，使證明過程更方便簡單易行。

證明過程：將要證明的等式左邊分工進行合并：+==因為在直角三角形ABC中，有a2+b2=c2∴上式可變為=，兩邊交叉相乘得：a2·b2=c2·h2，式子變形（ab）2=（ch）2，∵a，b，c，h均為正數，∴可得ab=ch，根據三角形面積公式可知此式成立，從而可證明結果成立：+=

三、運用綜合方式進行證明

在證明幾何題目時，有時會遇到一些題目，從已知條件運用正向思維進行證明和從結論運用逆向思維進行證明都不容易找到問題的突破口。遇到這種情況就要對已知條件進行分析，用正向思維進行證明，也可以認真分析證明結論，運用逆向思維進行證明，也可以同時運用兩種思維方式進行思考，從而找到解決問題的突破口。如，題目給出三角形某個邊的中點，如果做輔助線，就要考慮中線或中點倍長線。如果是在梯形中給出中點，就要考慮其高線、補形結合、對角平移等方法和條件的利用。從正反兩個方面綜合考慮，往往會使題目容易證明。

例3.（如圖2）已知梯形ABCD，其中AE⊥DC，AB∥CD，邊AC的長度是20，邊BD長是15，邊AE的長是12，求梯形ABCD的面積？

解題過程：過A點作一條輔助線AM，使AM∥BD，AM線交于CD延長線上的M點，因此，就可得到平行四邊形ABDM，根據這個平行四邊形可知：AM=BD，S△AMD =S△ABD，由此可知S△ABD=S△ABC，∴梯形ABCD面積就等于△AMC的面積。在△AME中可求得，ME==9，在△AEC中，EC==16，因為梯形ABCD面積等于△AMC的面積：可得S△AMC=（9+16）×12=150

四、運用幾何證明題培養學生能力

隨著素質教育和新課標的實施，要求教師在初中數學教學中注重發展學生的思維能力。通過運用多種思維方式，從不同角度對幾何題目進行證明，能擴展學生的思路。學生通過對幾何題目進行觀察、分析、歸納等步驟，來感受幾何證明帶來的挑戰和幾何題目證明過程的嚴謹性、條理性、確定性，對培養學生的思維創新能力非常有益。本文中三種思維方式在幾何證明中使用較多，也是最有效的方法，教師在教學中應指導學生注重對這幾種思維方式的運用，以提高學生的數學學習成績。

參考文獻：

[1]趙美娟.淺談初中數學幾何證明的三種思維[J].吉林教育，2016（1）.

[2]費建萍.淺談初中數學幾何證明題教學[J].數學學習與研究，2015（16）.

編輯 孫玲娟