讓直觀想象根植在數學課堂教學中

羅宇軍

【摘要】本文結合直觀想象的相關理論，以“平面”第一課時為例，闡述在高中數學的教學設計中如何滲透核心素養，旨在通過具體案例，論述如何在教學中滲透“直觀想象”素養的培養，為構建以提升學生數學核心素養為主旨的教學模式拋磚引玉.

【關鍵詞】核心素養；直觀想象；平面

一、關于直觀想象

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題.主要包括：利用圖形描述數學問題，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.通過直觀想象核心素養的培養，學生能夠養成運用圖形和空間想象思考問題的習慣，提升數形結合的能力，建立良好的數學直覺，理解事物本質和發展規律.

二、課堂教學的情境引入

世界500強面試題：公主到了出嫁的年齡，國王想找一個聰明人做自己的女婿.于是就在王宮門口貼出了一張告示，上面說：如果有人能夠種四棵樹，使得其中任意兩棵樹之間的距離相等，就將公主嫁給他.

多數學生會在平面內思考而受阻，教師適時點撥，呈現如右圖所示的三棱錐.

適時引入：盡管我們初中學過平面幾何，但如果只局限在平面上，很多問題是解決不了的，這就是我們即將學習的一門新課程——立體幾何.

評析：通過問題的提出，很快把學生引入課堂上來，由于學生知識的局限性，學生對于這個問題一時反應不過來，多數學生都設法在一個平面內思考問題而無法獲得突破，從而形成學生認知上的沖突，激發學生的研究興趣，充分調動了學生學習的積極性，同時應注意學生的反應，把學生的思維從平面引向空間，為學習立體幾何知識做好心理準備.

三、講解新課

（一）平面的特點

思考1：請同學們利用類比學習的方法，由直線的特點，類比出平面的特點，直線的特點是：直，可向兩端無限延伸、無粗細之分；而平面的特點是：平，可向四周無限延展、無厚薄之分.

思考2：生活中的面以及常見的平面圖形與幾何中的平面是相同的嗎？

引導學生發現：區別是可度量與不可度量；聯系是平面圖形可以表示平面的一部分.

評析：由于學生對于直線知識很了解，而對于平面知識知道得不多，因此，抓住直線與平面之間的關聯學習平面正可謂是“恰到好處”.由于在后面的學習中要做出平面圖形，為避免學生把二者混為一談，有必要對二者加以區分，為下面的學習鋪平道路.

（二）平面的畫法

引導：大家還記得直線是怎樣畫的嗎？學生討論后出示如下畫面：

評析：由于直線的畫法學生非常熟悉，因此類比直線的畫法研究平面的畫法就使學生很容易理解.

思考3：把平面圖形放在空間中，它的位置可以是水平放置，也可以是豎直放置，不同的放置方法，它的畫法一樣嗎？在立體幾何中，通常畫平行四邊形來表示平面，出示教具，學生由觀察容易得出：當平面豎直放置時，一般畫成矩形.

提問：當平面水平放置時，應畫成什么形狀呢？（由學生討論）然后通過幾何畫板課件引導學生觀察.

評析：由于幾何中的平面與現實中的平面的較大的不同，而在幾何的學習中又需要做出平面進行研究，因此，為了作圖上的方便，作圖時可以用平面圖形來表示平面，這一解釋為我們后面的學習進行了鋪墊.由于課件動態顯示了平面圖形的不同位置，學生很容易觀察到：平行四邊形的銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊的2倍長時最像.

結論：當平面是水平放置的時候，通常把平行四邊形的銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊的2倍長.

評析：豎直放置的平面，學生通過觀察很容易畫出，而水平放置的平面的直觀圖學生則不容易做出，因此，授課者在此利用幾何畫板的動態效果給學生展示豎直放置平面圖形水平放置的過程中變化的視覺效果，學生通過觀察歸納出水平放置的平面圖形的畫法，這一點非常經典.

（三）平面的表示方法

1.點的表示：大寫的英文字母A，B，C；

2.線的表示：小寫的英文字母a，b，c，d或AB，CD.

評析：由于點用大寫英文字母表示，而線可由兩點確定，學生就不難理解直線可用兩個大寫英文字母表示，由此類比，平面可表示為多邊形，學生就很自然地想到平面可用多個大寫英文字母表示.另一方面，點可以用大寫英文字母表示，學生就不難理解直線可用小寫英文字母表示，由此類比，平面可表示為多邊形，學生就很自然地想到平面可用字母α，β，γ，…來表示.

練習：觀察（1）（2）（3）三個圖形模型說明它們的位置關系有什么不同：

學生討論后教師用實物教具幫助學生理解.通過幾個簡單的直觀圖的對比，初步建立學生的“空間感”！

練習：下圖中的平面中有無不正確的地方？應如何糾正？

提問學生回答：

教師歸納總結：

畫空間圖形應注意：畫兩個平面相交時，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應把被遮住的部分畫成虛線或不畫.

評析：對于剛剛學習立體幾何的學生來說，作圖便是他們最早面臨的第一道“門檻”，如何有效地控制學生在作圖過程中出現錯誤，事先預防總比事后糾正要好得多，課后測試表明：98%的學生不會出現類似錯誤.

探究：兩個相交平面的畫法.

教師出示兩個相交平面的實物教具（如圖）.

畫兩個相交平面的步驟：

1.畫出邊線AB，CD；

2.找交點M，作線段MN（兩個平面的交線）；

3.過A，B，C，D作MN的平行線段；

4.完成兩個平行四邊形；

5.看不到的線用虛線或擦去.

評析：利用課件立刻做出圖形，凸現實際的思考過程，并利用畫板的動態拖拉技術，讓學生觀察，視覺化降低學生思考的外在負荷，使學生很容易理解整個圖形實際上是由AB，CD按一定方向拉伸得到，由此，學生就不難理解為什么先畫出邊線AB，CD了.

四、小結與反思

在課堂教學過程中，教師在實踐課堂教學之前應該做到以下幾點：

1.教師對本節教學包含的數學原理和規律要有深刻的理解；

2.教師備課這一環節很重要，備學生就是認識學生，就是要根據學生現有的知識水平和可能達到的能力設計好相關的問題，注意層次，使學生始終處于思維激活狀態；

3.科學高效是課堂教學的最終目標，教學過程中應該注意在呈現知識的方法方式上力求因學生而變，選擇恰當的案例，科學提取案例所包含的原理和規律，另外還要關注學生的最近發展區，科學選擇恰當的輔助方法，以最適合學生理解的數學語言，達到科學高效的教學.