“平面向量數量積在三角形中的應用”觀摩的思考
——基于偶偉國老師的一節示范課*

●仝 建 (南京市大廠高級中學 江蘇南京 210044)

“平面向量數量積在三角形中的應用”觀摩的思考
——基于偶偉國老師的一節示范課*

●仝 建 (南京市大廠高級中學 江蘇南京 210044)

基于偶偉國老師執教的一節示范課“平面向量數量積在三角形中的應用”，探究高效課堂形成的原因，提出高效課堂需注意留白的藝術、善用變式、營造積極心理場、注意“過渡”的設計、敢于放手.文章指出提高課堂實效，教師必須苦練“內功”，不斷提高自身對數學學科、所教學生、教學藝術的理解水平.

數量積；三角形；示范課；高效課堂；原因分析

1 背景

2015年12月，江蘇省蘇州市第十中學舉行的江蘇省“師陶杯”頒獎會上，省特級教師偶偉國以“平面向量數量積在三角形中的應用”為題上了一節示范課，授課對象為該校某高一班級學生.筆者有幸到現場學習了這節課，感觸頗深，收益良多.在偶老師的課堂上，學生情緒愉快，思考積極，教師引導合理、高效.課后通過學生訪談、反復學習偶老師這節課的教學錄像，發現偶老師高效課堂形成的原因，并談談自己的幾點思考.

2 教學實錄

2.1 知識回顧

師：今天我們要用平面向量數量積解決三角形中的問題.數量積大家熟悉吧？

生(眾)：熟悉.

師：能把數量積的計算公式說一下嗎？

生(眾)：a·b=|a|·|b|cosθ.

師(板書,并和學生一起說出公式):這里的θ是什么？

生(眾)：2個向量a與b的夾角.

師：夾角要注意什么？

生(眾)：共起點.

師：2個向量要共一個起點，2個向量夾角的范圍知道嗎？

生(眾)：[0，π).

師：數量積還有其他公式嗎？

生(個別)：沒了.

師：假如把向量a的坐標記成(x1，y1)，把向量b的坐標記成(x2，y2)，還可以得到什么公式？

生(眾)：a·b=x1x2+y1y2.

評注 偶教師開門見山地直接提出研究課題，一句“數量積大家熟悉吧”喚起了全體學生的對課題的注意.從學生熟悉的內容(數量積計算公式)出發帶動全體學生回顧基礎知識，使每一個學生都能走進課堂，同時不留痕跡地指出學生在知識理解上的易錯點——向量的夾角要使2個向量共起點.同時注意到：偶老師在課的開始階段，多是“口語化”的交流，看似零碎，但師生交流的氛圍好,學生能積極愉快地參與.筆者認為在課的開始階段，“口語化”應多于“書面化”表達,這樣更容易拉近師生的距離，把學生的注意力吸引到課堂中來.相反地，若一節課開始階段，“書面化”表達過濃，則會導致師生無法共鳴，學生的思維難以被激活，從而可能導致師生在不同“頻道”交流的尷尬現象.當然，教師要根據學生的情況作好“口語化”與“書面化”的平衡.

師：一個是跟向量模及夾角有關，一個是與坐標有關.同學們，你們前面用向量的數量積解決了什么問題？

生(個別)：沒解決什么問題，解決了數學問題.

師：解決了數學問題，看來老師問的問題不太好.大家看看數量積的公式跟什么有關？

生(眾)：跟角有關，跟模有關.

評注 偶老師說“看來老師問的問題不太好”，坦誠地在學生面前指出自己提問不好，把學生的不正確回答歸因到自己身上，這樣可以有效減少學生由于擔心答錯問題而產生的不敢回答問題、不敢展示自己想法的現象,有助于學生積極、主動地思考.接著，偶老師馬上又修改了自己的問題“數量積的公式跟什么有關”，為學生思考指出了更加明確的方向.通過由遠及近的問題，激活了學生的思維，并及時根據學生情況，調整問題的開放度.這當然不是偶老師的問題不好，而是教學藝術和智慧的體現.

師：通過向量的數量積可以研究向量的模、向量的夾角.當然，它還可以研究其他的內容.今天這堂課，我們用向量的數量積研究與三角形有關的問題.

2.2 例題評析

圖1

教師用PPT投影并讀題如下：

師(見沒有學生搶答)：口算不行了吧？大家算算看，困難來了.

(學生們開始安靜思考、計算, 教師在黑板上畫出△ABC.)

(教師根據生1的回答進行板書.)

生(眾):轉化.

生(眾):基底.

師：同學們說得很好!

師：這個三角形是確定的嗎?

生(眾):是的,2條邊夾1個角.

師：你能把這條邊AB算出來嗎？

(學生安靜思考片刻后，教師提醒有困難的學生可以一起討論.)

師：設想一下，能算嗎？

生(眾)：可以，接下來拆開.

師：生2的想法是把一個向量轉化為一組基底向量，最后通過平方的辦法轉化為長度.這個想法好不好？

生(鼓掌)：好！

師：還有其他不同的想法嗎？

(教師注意到學生的表情，示意一位學生回答.)

生3：過點A作AH⊥BC，交BC的延長線于點H，在Rt△ABH中，即可解得.

師(結合黑板上的圖形)：這就是“化斜為直”，用初中的知識就能解決了，但初中肯定沒有向量的方法.大家看，向量很奇特吧，現在△ABC的3條邊都是確定的.在這道題的條件下，你能提出其他問題嗎？

生4：求∠B的大小可以通過∠B的余弦值求得.

(其他學生提出的問題此處從略.)

評注 波利亞給出解題的4個步驟：理解題意，擬定計劃，執行計劃，回顧[1]. 偶老師的教學中，特別重視解題后的回顧，這恰是不少教師在解題教學中容易忽視的地方.在生1解答之后，馬上引導學生總結出解題的策略(向量轉化)及解題方法(基底法), 使例題的功能得以充分發揮，解題方法得以固化. 通過追問“求邊AB的長”，鞏固例題教學形成的成果，同時也充分展示學生的不同想法，在通法(基底法)和巧法(化斜為直)中達到平衡.

2.3 變式練習

師：已知三角形的2條邊和它們的夾角，借助向量可以求出第3條邊和其他的2個角.

再看下面的問題(PPT展示變式1)：

師(點評后)：這3個數量積在等邊三角形中是相等的.現在提這么一個問題：假如這3個數量積都相等，這個三角形是不是等邊三角形呢？

PPT投影變式2：

(學生們安靜思考.)

生6：考慮到向量數量積的幾何意義與投影有關.作BT⊥AC，垂足為T，則

從而

(師板書并對該學生的說的式子用數量積進行解釋).

師：用向量投影概念進行快速處理，太棒了！

(學生自發鼓掌，其他學生對變式2的回答此處從略.)

師：將變式2中的問題反過來，看下面的問題.

PPT展示變式3：

(教師板書并畫圖說明點P是△ABC的垂心，即3條高線的交點.)

師：三角形除了垂心，還有重心(3條中線的交點)、外心(3條中垂線的交點)、內心(3個內角平分線的交點)，它們都與向量有相應的關系.請感興趣的同學課后研究.下面我們看2道練習題.

2.4 感受高考

A.|b|=1 B.a⊥b

(2015年安徽省數學高考理科試題第8題)

(2015年福建省數學高考理科試題第9題)

(學生解答及教師評講過程從略.)

評注 “如何保證課堂教學的后半段，學生也能思維活躍、不知疲倦地積極參與”是不少一線教師困惑的問題.注意到偶老師設計的例1特殊化就是變式1，通過調換變式1中的條件和結論得到變式2，變式3是變式2的一個反問題，這是一串緊密聯系的問題組合,吸引學生不斷深入下去，使學生的思考更加深入. 2道練習題是當年的高考題，對學生來說頗具新鮮感，有想試一試、挑戰一下的沖動. 精心選擇的問題加上教師充滿激情的講解與引導，使得學生在本節課的后半段也一直處在智力振奮的狀態.

2.5 回顧總結

(此處從略.)

3 課后的訪談

課后筆者對部分學生進行簡單訪談，并參與了偶老師對這節課的座談會.

3.1 學生訪談

課后筆者隨機對上課的學生進行訪談.

筆者：你對這節課的總體感受如何？

生1：感覺時間過得特別快，很開心.

生2：后面的問題很“燒腦子”，有意思.

筆者：你對老師的總體感受如何？

生3：老師上課很有趣，聽他的課很愉快.

生4：這位老師上課我肯定不會睡覺的，他的課很有意思.

3.2 偶老師談本節課課題的確定

偶老師在課后的交流中談到：“一開始接到的課題是‘平面向量數量積的應用’，題很大，可以圍繞向量的數量積、求模、求夾角這3個方面鋪得很開，但容易散，難以深入.因此我選擇了‘平面向量數量積在三角形中的應用’，這個課題切口小，好深入. ”

4 幾點思考

4.1 注意留白的藝術

“留白”起源于繪畫藝術，在作品中留有空白，可以增加藝術美感和想象空間.在本節課中，偶老師為學生留足了思考的時間，學生有思考的余地.如變式問題提出后，總能出現學生安靜思考的狀態.有的問題(如變式3之后偶老師提到重心、外心、內心都與向量有相應的關系.請感興趣的同學課后研究)，不講完，留一點，留給學生思考的空間，這個思考的時空可以是課上，也可以是課下.偶老師恰當使用“留白”的藝術，延展了課堂時空，增強了課堂實效.

4.2 善用變式教學

變式教學是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理地轉化.教師通過不斷變更問題中的非本質特征、變換問題中的條件或結論、轉換問題的內容和形式等，但應保留問題中的本質因素，從而使學生掌握數學問題的本質屬性.當下市場上的復習資料，大多會在例題后面給出一道或幾道所謂的“變式”，但實際上多是同類問題的累加，并非真正的變式，甚至和例題只是形似，并無本質關系.

4.3 善于營造積極心理場

美國心理學家、拓撲心理學的創始人勒溫認為：人就是一個場，人的心理現象具有空間的屬性，人的心理活動也是在一種心理場或生活空間中發生的.也就是說，人的行為是由場決定的.心理場主要是由個體需要和他的心理環境相互作用的關系所構成[2].

本節課是借班上課，上課地點是學校的階梯教室，后面還有不少聽課教師.這種情況下，師生難免都會有些緊張.上課的一開始，偶老師通過 “拉家常”的一問群答式，營造輕松愉快的課堂氛圍，后續其間有個別回答，有教師真誠的鼓勵，也有委婉的批評和激將，又有學生對學生由衷的贊嘆，還有教師的自我批評等等.這些都構成了師生積極愉快的心理場, 就像訪談時幾位學生所說“時間過得快，很開心”“有趣、愉快、有意思”. 學生在這樣的課堂環境中，思維更容易被激活, 參與更有深度，課堂效果更好.

4.4 注意“過渡”的設計，打造自然的課

一節課除了設計出各個教學環節，還要注意各個環節之間的“過渡”的設計，就像主持節目，要“串好詞，連成線，構成一個整體”. 偶老師指出：“向量數量積可以研究模，可以研究夾角.當然，它還可以研究其他的內容.今天的這堂課，我們用向量的數量積研究與三角形有關的問題.”由此自然引入例題，實現了從數量積知識的回顧到例題講評的過渡.例題評講中的追問也是自然產生，例題和變式之間以及后面的反饋練習，環環相扣，層層遞進，不同環節的轉換都有好的“過渡語”. 各個環節之間“過渡”自然，使本節課成為有機整體，這也應是高效課堂的成因之一.

4.5 敢于放手源于學科功底深厚

經常有專家在評課中提到，要敢于放手，潛臺詞是教師放手還不夠.是什么原因使得教師不敢放手呢？在筆者和其他教師的交流中發現：很多教師不是不知道放手的好處，而是缺少放手的底氣，放開了，還能引導好學生嗎？能解決課堂上學生提出的問題嗎？能收得了場嗎？

本節課偶老師基于學生，敢于放手.課堂上的不少問題是由學生自己提出來的，如“在例1的條件下，提出求∠B”等.大膽放手，自然有利于培養學生思維的靈活性和創造性.《孟子·盡心下》中說:“賢者以其昭昭，使人昭昭. ”我們無法交給別人自己沒有的東西，同樣地也無法教會別人自己不會的東西. 偶老師敢于放手，正是源于他深厚的學科功底，及由此產生的高度教學自信(包括偶老師對課題作了一定的修改)，可謂是藝高人膽大. 章建躍博士認為：教學設計能力是教師專業水平和教學能力的關鍵，其本質是理解數學、理解學生、理解教學的水平和能力[3]. 可見要提高課堂實效，教師必須苦練“內功”，不斷提高自身對數學學科、所教學生、教學藝術的理解水平.

5 結語

偶老師的這一節課基于數學的深刻理解和學情的精準把握，充分地展現了精湛的教學藝術.特級教師的特別之處在哪里？筆者認為在于教師對數學學科特別深刻的理解，是學科知識的行家里手；在于對學生的理解與尊重，在此基礎上形成良好的教學方法和教學藝術，組織學生切實地做好了“數學地交流和互動”，并形成了自己的獨特風格.

[1] 波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技出版社，2007.

[2] 仝建. 高立意低實效之追因[J].中小學數學：高中版，2016(6)：26-28.

[3] 章建躍.在“落實立德樹人根本任務全面深化課程教學改革”中再立新功[J].中國數學教育：高中版，2015(1/2)：3-5.

??2016-11-03；

2016-12-06

仝 建(1980-)，男，安徽靈璧人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-09-04