樸實出新 平淡見真
——“集合與常用邏輯用語、復數”高考復習專題*

●熊豐羽 (寧波中學 浙江寧波 315004)

樸實出新 平淡見真
——“集合與常用邏輯用語、復數”高考復習專題*

●熊豐羽 (寧波中學 浙江寧波 315004)

集合與常用邏輯用語是高中數學最基礎的內容，復數也是高中數學的基本內容，2者都是高考必考的知識點.考查題型多為選擇題、填空題，分值和難度也相對穩定.復習中不但要掌握這些章節的基礎知識，而且要領悟其背后蘊含的數學思想方法.

集合;常用邏輯用語;復數

1 知識內容

根據《考試說明》，2017年浙江省數學高考“集合與常用邏輯用語”的考試內容包括：集合及其表示、元素與集合的關系、集合間的基本關系、集合的基本運算；命題的4種形式、充分條件、必要條件和充要條件.復數部分的考試內容有：復數的概念、復數的加減運算以及幾何意義、復數的四則運算.與《2016年考試說明》比較，常用邏輯用語的考試內容有顯著變化，刪掉了“了解邏輯聯結詞‘或’‘且’‘非’的含義；理解全稱量詞和存在量詞的意義；能正確對含有一個量詞的命題進行否定”.

2 命題分析

2.1 集合與常用邏輯用語

集合與常用邏輯用語是高中數學最基礎的內容，是每年高考必考的知識點.考查題型多為選擇題、填空題，分值和難度也相對穩定.其中集合部分考向主要有2個：1)考查集合的基本概念、結合函數、方程、不等式知識考查集合的基本關系及運算(這類問題一般難度不大).2)以集合為背景的創新性問題(這類問題充分體現了集合作為基本數學語言和工具的一面，試題新穎，難度較大).常用邏輯用語的命題主要圍繞2點：1)4種命題及其關系，特別是否命題；2)判斷充分條件、必要條件和充要條件.這是考查的重點，復習時一定要辨析清楚3者的區別.考查題型以選擇、填空題為主.當然由于常用邏輯用語的基礎性，因此除了單獨考查外，常用邏輯用語還常常作為簡化解題過程的基本思想和策略出現，如命題的等價轉換、利用必要條件等.

2.2 復數

主要考查復數的概念、幾何意義及四則運算，特別是乘法運算和除法運算，求復數的模.常常將復數的概念、幾何意義和四則運算融合在一起命題.試題一般比較容易，是高考中的得分點.復習時只需理解復數概念，熟練掌握復數四則運算.

3 典題剖析

例1 已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},則P∪(CRQ)=

( )

A.[2,3] B.(-2,3]

C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

(2016年浙江省數學高考理科試題)

分析 正確答案為B.本題主要考查集合的并集、補集，是一道基礎題目.從歷年高考試題看，集合的基本運算是必考考點，也是考生必定得分的題目之一.它可以與求函數定義域、值域、解不等式等相結合，增大了考查的覆蓋面.解題時可以借助數軸、韋恩圖進行運算.

例2 設A,B是有限集，定義d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素個數.

①對任意有限集A，B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件.

②對任意有限集A,B,C，d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).

則

( )

A.命題①和命題②都成立

B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立

D.命題①不成立，命題②成立

(2015年浙江省數學高考理科試題)

分析 正確答案為A.本題取材于人教A版《數學》必修1的“閱讀與思考”，背景是容斥原理，有一定的難度，關鍵是理解題意并合理利用容斥原理、韋恩圖等工具解決問題.card(A∪B)≥card(A∩B)當且僅當A=B時等號成立，從而命題①成立.根據容斥原理可知

d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)

? card(A)+card(C)-2card(A∩C)≤card(A)+

card(C)+2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C)?card(B∩C)+card(A∩B)-2card(B)≤card(A∩C),這個式子顯然成立.當然容斥原理在高考中不作要求，因此本題也可以通過韋恩圖分析.

例3 設{an}是首項為正數的等比數列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數n，a2n-1+a2n<0”的

( )

A.充要條件

B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

(2016年天津市數學高考試題)

分析 充分、必要條件一般來說有3種判斷方法.1)定義法：直接判斷“若p則q”“若q則p”的真假,并注意和圖示相結合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件.2)等價法：對于條件或結論為否定式的命題，可以利用原命題與其逆否命題的等價性，先分析逆否命題.3)集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件.

本題中可將條件a2n-1+a2n<0作等價轉化,即

a2n-1+a2n<0?a1(q2n-2+q2n-1)<0?

q2(n-1)(q+1)<0?q∈(-∞,-1)，

因此“q<0”是“對任意的正整數n，a2n-1+a2n<0”的必要不充分條件.故選C.

(2016年天津市數學高考試題)

圖1

例5 已知函數f(x)=x3+3ax2+3x+1,若x∈[2，+∞)時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

(2013年全國數學高考大綱卷試題)

( )

A.-4B.-3C.3D.4

(2015年全國數學高考新課標卷試題)

分析 由題意可得

2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i，

從而

a=4.

復數題主要考查其代數形式的四則運算、復數相等、復數的模等知識點，一般屬于容易題.復習時應準確區分復數的相關概念(如實部、虛部)，熟練掌握四則運算.

4 精題集萃

1.l1,l2表示空間中的2條直線，若p：l1,l2是異面直線；q：l1,l2不相交，則

( )

A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C.p是q的充分必要條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}，B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}，定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}，則A⊕B中元素的個數為

( )

A.77B.49C.45D.30

3.設S，T是2個非空子集，如果存在一個從S到T的函數y=f(x)滿足：1)T={f(x)|x∈S}；2)對任意x1，x2∈S，當x1

( )

A.A=N*，B=N

B.A={x|-1≤x≤3}，B={x|x=-8或0

C.A={x|0

D.A=Z，B=Q

4.設整數n≥4，集合X={1，2，3，…，n}，令集合S={(x，y，z)|x，y，z∈X，且3個條件x

( )

A.(y，z，w)∈S，(x，y，w)?S

B.(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S

C.(y，z，w)?S，(x，y，w)∈S

D.(y，z，w)?S，(x，y，w)?S

p1：對任意(x，y)∈D，x+2y≥-2.

p2：存在(x，y)∈D，x+2y≥2.

p3：對任意(x，y)∈D，x+2y≤3.

p4：存在(x，y)∈D，x+2y≤-1.

其中的真命題是

( )

A.p2，p3B.p1，p2C.p1，p4D.p1，p3

6.i是虛數單位，若復數(1-2i)(a+i) 是純虛數，則實數a的值為______.

7.設全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，則(CUA)∩B=______.

8.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3)，g(x)=2x-2，若同時滿足條件：

①任意x∈R,f(x)<0或g(x)<0；

②任意x∈(-∞,-4) ,f(x)g(x)<0,

則m的取值范圍是______.

9. 若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列4個關系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4,有且只有1個是正確的，則符合條件的有序數組(a，b，c，d)的個數是______.

10.已知q和n均為給定的大于1的自然數,設集合M={0，1，2，…，q-1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1，xi∈M，i=1，2，…，n}.

1)當q=2，n=3時，用列舉法表示集合A;

2)設s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n,證明：若an

參 考 答 案

1. A 2.C 3.D 4.B 5.B

6.-2 7.{7,9} 8.m∈(-4,-2) 9.6

10.1)A={0,1,2,3,4,5,6,7}.

2) 證明 由s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，ai，bi∈M，i=1，2，…，n及an

s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+

(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤

故s

??2016-12-22；

2017-01-23

熊豐羽(1977-)，男，浙江寧波人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O14

A

1003-6407(2017)03-28-03