數學創新題求解策略
——以概念型、定義型、開放型、建模型為例*

●何豪明 (衢州高級中學何數思維工作室 浙江衢州 324006)

●張金良 (浙江省教育廳教研室 浙江杭州 310012)

數學創新題求解策略
——以概念型、定義型、開放型、建模型為例*

●何豪明 (衢州高級中學何數思維工作室 浙江衢州 324006)

●張金良 (浙江省教育廳教研室 浙江杭州 310012)

創新是以新思維、新發明和新描述為特征的一種概念化過程，原意有3層含義：第一是更新；第二是創造新的東西；第三是改變.數學創新能力一般是指對已經掌握的研究問題的方法、分析問題的思想和解決問題的途徑進行推廣和拓展，對未來的數學領域通過探索得到新的結果的能力.文章通過對概念型、定義型、開放型、建模型等數學創新題的探究，為數學創新題提供一般性的思維方法和解題策略.

數學創新題；概念型；定義型；開放型；建模型

創新是以新思維、新發明和新描述為特征的一種概念化過程.起源于拉丁語，它原意有3層含義：第一是更新；第二是創造新的東西；第三是改變.創新是人類特有的認識能力和實踐能力，是人類主觀能動性的高級表現形式，是推動民族進步和社會發展的不竭動力.

數學創新能力一般是指對已經掌握的研究問題的方法、分析問題的思想和解決問題的途徑進行推廣和拓展，對未來的數學領域通過探索得到新的結果的能力.

數學創新題一直是高考命題的重點，特別是概念型、定義型、開放型、建模型等數學創新試題，它們解法靈活，同時具有一定的探索性，尤其值得關注.

1 概念型

概念型信息題是指人類在認識過程中，把所感覺到的事物的共同特點抽出來，加以概括，成為概念.概念是人腦反映客觀事物根本屬性的思維形式.其目的是為了考查學生獨立獲取信息、加工信息的學習能力.因而解決此類問題的關鍵是仔細閱讀、抓住信息、透徹理解.

概念型信息題的高考命題特點是對“反映客觀事物根本屬性的思維形式”的考查，如2016年全國數學高考理科試題卷Ⅰ第7題等；或考查學生對教材中已經學習過的概念的理解和應用能力，如2015年浙江省數學高考理科試題第7題等.

概念型信息題的復習重點是對事物共同特點的抽象概括能力、總結規律的能力和不同數學語言相互翻譯的能力.

例1 已知定義域為(0,+∞)的單調函數f(x),滿足對任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)-log2x]=6，求函數f(x)的解析式.

分析 因為對任意的x∈(0,+∞)，都有

f[f(x)-log2x]=6，

又f(x)是定義在(0,+∞)上的單調函數，所以利用函數單調性的定義可以得到f(x)-log2x為定值(揭示函數單調性概念的內涵).設t=f(x)-log2x，即

f(x)=t+log2x，

從而

f(t)=t+log2t.

又因為f(t)=6，所以

6=t+log2t，

解得t=4，故所求函數的解析式是

f(x)=4+log2x(其中x>0).

2 定義型

定義型應用題通過指出定義所反映的事物本質特征來明確定義的內涵和外延，它科學地揭示了客觀世界中事物的本質特征.定義是一種人為的廣泛、通用的解釋意義.而對自定義型問題，則要求學生從新的定義、方法到新規則的學習，在較短時間內獲取信息、對信息進行加工處理.它有利于提高學生主動獲取信息、加工信息的能力.解決此類問題的關鍵是要用數學的文字語言、符號語言和圖形語言理解定義、熟悉定義，從而掌握定義.

定義型應用題或給出新的定義，考查學生對新定義的理解和應用能力，如2016年全國數學高考理科卷Ⅲ第12題、2016年浙江省數學高考理科試題第18題等.

定義型應用題的復習重點是深刻理解各種數學定義，熟練掌握定義的不同數學語言的相互理解和轉換.

3 開放型

所謂開放型問題，是相對于中學課本中有明確條件和明確結論的封閉型問題而言的.開放性探究題可分為條件開放型問題、結論開放型問題和條件結論均開放的全開放型問題.對于具有多重結果的結論開放型問題，應抓住條件中那些影響結論的動態因素(如定義、公式的特定條件、幾何體的不同形態等)，或分類討論，或構造不同圖形，全面考查問題的各個方面.對于只給出一個特定情境，而命題的條件、結論及推理判斷過程均不確定的開放型試題，應該靈活運用數學知識，回顧相近或相似的題型、結論、方法，進行類比猜想，在給定的情境中自己去假設、求解、調整方法、確定結果.

開放型問題或對于只給出一個特定情境而命題的條件、結論及推理判斷過程均不確定的開放型試題的考查，如2016年四川省數學高考理科試題第15題等；對條件開放或結論開放型問題的考查，如2015年安徽省數學高考理科試題第15題、2015年全國數學高考理科卷Ⅱ第20題等.

開放型問題的復習重點是對開放性探究題的條件或結論的探究，或對只給出一個特定情境而命題的條件、結論及推理判斷過程均不確定的開放型試題的探究.

例3 設α,β是2個不同的平面，m,n是平面α及β之外的2條不同的直線，給出4個論斷：1)m⊥n；2)α⊥β；3)n⊥β；4)m⊥α.以其中3個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題.

分析 求解條件、結論均開放型的試題，要先組成命題，然后通過代數運算或邏輯推理去驗證真假.求解這類試題，沒有現成的公式可套，需要學生自己去探索.本題可以組成4個命題，逐一判斷，得到的答案是：m⊥α,n⊥β,α⊥β?m⊥n或m⊥n,m⊥α,n⊥β?α⊥β.

4 建模型

建模型應用題是指能反映特定問題或特定具體事物、具體系統內部的數學關系式結構.它或能解釋特定抽象的現實狀態，或能預測對象的未來狀態，或能提供處理對象的最優決策或控制.此類題要求學生會數學地提出問題、分析問題，并能綜合運用所學的知識和技能解決問題，形成解決問題的一些基本策略，其解題的總體思路是：讀題—建?！饽！媒?

建模型應用題是對給出現實生活中的一個事例，要求學生把它抽象為數學問題，即通過建立數學模型來解決，如2016年全國數學高考理科卷Ⅰ第4題、2015年全國數學高考理科卷Ⅱ第12題等.

建模型應用題的復習重點是如何把實際問題轉化為數學問題的能力以及對不同模型的識別能力.

例4 已知f(x)為定義在(-∞,+∞)上的可導函數，且f(x)

( )

A.f(1)>e·f(0),f(2 012)>e2 012·f(0)

B.f(1)e2 012·f(0)

C.f(1)>e·f(0),f(2 012)

D.f(1)

F′(x)=-e-x[f(x)-f′(x)]>0，

得到F(x)是R上的增函數,即

故選A.

2)正四面體A-BCD的棱長為1，棱AB∥平面α，求正四面體上的所有點在平面α內射影構成的圖形面積的取值范圍.

3)已知棱長為a的正四面體可以在一個單位正方體(棱長為1)內任意地轉動.設P,Q分別是正四面體與正方體的任意一個頂點，當a達到最大值時，求點P,Q間距離的最小值.

分析 研究正四面體問題，感受數學的對稱美，可以考慮以正方體為模型進行思考，產生如下解法：

圖1

5 精題集萃

圖2

( )

2.已知y=f(x)(其中x∈R)的導函數為f ′(x).若f(x)-f(-x)=2x3，且當x≥0時，f ′(x)>3x2，則不等式f(x)-f(x-1)>3x2-3x+1的解集是

( )

4.(x2-x+y)5的展開式中x3y2項的系數等于______(用數字作答).

5.過拋物線C:y2=4x的焦點F作直線l交拋物線C于點A,B，若|AF|=3|BF|，則直線l的斜率是______.

6.一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的______(填入所有可能的幾何體前的編號).①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱

7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當底面四邊形ABCD滿足條件______時，有A1C⊥B1D1(填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形).

8.已知某幾何體的主視圖、俯視圖、側視圖均為等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長均為2，那么這個幾何體的表面積可能為______(結論開放題).

9.在數列{an}中，已知a1=1，a2=2，請寫出該數列的4個通項公式，他們分別為______；______；______；______.

11.若對任意的x∈D，均有f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立，則稱函數f(x)為函數f1(x)到函數f2(x)在區間D上的“折中函數”.已知函數f(x)=(k-1)x-1,g(x)=0,h(x)=(x+1)lnx,且f(x)是g(x)到h(x)在區間[1,2e]上的“折中函數”，則實數k的值是______.

1)請你給出a，b的一組值，使直線l和橢圓C相交.

2)當直線l和橢圓C相交時，a，b應滿足什么關系？

3)若a+b=1，試判斷直線l和橢圓C的位置關系.

4)請你在第3)小題的基礎上添加一個合適的條件，求出直線l的方程.

參 考 答 案

6.①②③⑤

7.AC⊥BD或四邊形ABCD是正方形或四邊形ABCD是菱形等.

9.等差數列形式：an=n(其中n∈N*)；

等比數列形式：an=2n-1(其中n∈N*)；

等和數列或等積數列形式：

三次函數形式(待定系數法):an=n3+n2-9n+8(其中n∈N*)或an=n3-2n2+2(其中n∈N*)等.

13.1)取a=1，b=0，則直線l：y=x和橢圓C相交.

(1+2a2)x2+4abx+2b2-4=0.

因為直線l和橢圓C相交，所以由Δ>0可得b2-4a2-2<0.

3)因為a+b=1，所以b=1-a，從而

y=ax+1-a，

即

y-1=a(x-1)，

故直線l恒過點(1，1).

4)添加條件：直線l過點(2，0)，則a=-1，因此直線l的方程為x+y-2=0.

??2016-12-22；

2017-01-25

何豪明(1967-)，男，浙江衢州人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O12

A

1003-6407(2017)03-31-04