例談高考三角函數復習備考策略*

●曲文瑞 (平湖中學 浙江平湖 314200)

例談高考三角函數復習備考策略*

●曲文瑞 (平湖中學 浙江平湖 314200)

三角函數是中學數學中非常重要的組成部分，它既是對前面函數知識的延伸，又是三角形知識的拓展，同時也是歷年來考試的熱點.因此在學習及備考中必須要抓住三角函數的本質，把握好三角恒等變換的方向，以提高三角函數復習的備考質量.

三角函數;解三角形;等價轉化

1 知識內容

在高考中，三角函數考查的主要內容包括：三角函數的定義、三角函數的圖像和性質、三角恒等變換及運算、三角函數與解三角形的知識交匯.解三角形考查的主要內容包括：正弦定理、余弦定理、三角形內角和定理及三角形面積公式的應用.

2 課后反思

本節課的設計是先讓學生總結解題的基本方法，再以一題多解促進學生盡可能窮盡解題方向，再把圖7進行旋轉演變成2015年浙江省寧波市中考壓軸題，引導學生解決.整堂課的設計簡潔明了，沒有精彩的情境引入，也沒有華麗的多媒體展示，但學生整堂課學習下來興致盎然，關鍵是抓住了課堂的根本.

2.1 以問題引領課堂

本堂課中，教師充分發揮引導者作用，為學生提供了3個互相關聯、層層遞進的問題，生動地詮釋了以學為中心的教學理念，為初三的復習課打開了一個從基本圖形出發、讓學生經歷綜合題的生成過程的基本思路.同時，相似三角形的知識始終貫穿課堂，主題明確，本質清晰.

2.2 以聯想拓展思維

整堂課以相似三角形的線段比為知識原型，以共有一個頂點的2個相似三角形為基本圖形，積極引導學生在現有的問題上去發現所有的解題方向，對知識點的聯想，對思想方法的聯想，從圖形的靜態變化到動態旋轉，不斷發散學生的思維，不斷誘發學生從已有的圖形進一步向上拓展，再通過解決問題去豐滿、完善已有的知識，真正做到了以學生為主體的課堂教學.思維的激蕩讓教師的引導更加有效，從而激起了學生求知、探究的欲望，使整個課堂變得生動起來.

2.3 以實例調適心態

整堂課提供了3個問題，由易到難，層層遞進，引導學生歸納總結基本解題方法并熟練掌握.由于最終演變得到的是一道中考壓軸題，因此大大激發了學生的成就感和獲得感.由于前面做足了鋪墊，很多學生在課堂氛圍的帶動下，最終找到了解題的方案，攻克了平時沒有頭緒的難題.課堂上的成功讓他們感覺到原來中考壓軸題也是用基本方法解決的，無形中消除了懼怕心理，有利于學生以平常的心態應對解決中考難題.中考壓軸題的難點在于圖形比較復雜，解題分析中容易受到各種干擾，因此突破的關鍵是平時對所研究的一些重要的基本圖形的結構與性質爛熟于心，形成基本模型，這樣才能從較復雜的圖形中分離出基本圖形，迅速進行解答.

2 命題分析

三角函數是中學數學中一種非常重要的函數，是浙江省數學高考對基礎知識和基本技能考查的重要內容.在2016年的浙江省數學高考中，三角函數內容文、理科均考了2個小題和1個大題，所占分值為25分，但考題難度不大，均屬于中等難度題.復習時，除了要重視三角函數的必考點(三角恒等變換)、重點(三角函數的圖像和性質)、熱點(三角函數與解三角形的知識結合)外，還應深刻領會三角函數中所蘊含的數學思想(數形結合、轉化與化歸、整體思想、換元思想).

3 典例剖析

( )

(2013年浙江省數學高考理科試題第6題)

解法1 (方程思想)由

得

于是

進一步

點評 此法主要是從同角三角函數的基本關系入手，構造方程組，直接解出sinα,cosα.此題還可以利用

化簡得

3tan2α-8tanα-3=0，

點評 此法主要是利用齊次式直接求出tanα，進而求得tan2α.

解法3 (引入輔助角)因為

或

故

點評 此法主要是利用輔助角公式，解得α與φ的關系，通過φ的正切值求得α的正切值.

例2 在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知b+c=2acosB.

1)證明：A=2B;

(2016年浙江省數學高考理科試題第16題)

1)證法1 (從正弦定理入手)由正弦定理得

sinB+sinC=2sinAcosB,

從而 2sinAcosB= sinB+sin(A+B)=

sinB+sinAcosB+cosAsinB,

于是

sinB=sin(A-B).

又A,B∈(0,π)，從而

0

于是

B=π-(A-B)或B=A-B,

即

A=π(舍去)或A=2B,

故

A=2B.

證法2 (從余弦定理入手)由余弦定理得

從而

bc=a2-b2，

于是

b+c=2acosB，

即

亦即B為銳角，因此

又bc=a2-b2，故

所以

cosA=cos2B，

故

A=2B.

點評 已知式中既含有邊又含有角，證法1和證法2利用正、余弦定理進行等價轉化，實現邊角統一，然后再進行處理，水到渠成.

證法3 (從射影定理入手)在△ABC中,c=acosB+bcosA，又b+c=2acosB，從而

b+acosB+bcosA=2acosB，

于是

b=acosB-bcosA.

又b=acosC+ccosA，從而

acosC+ccosA=acosB-bcosA,

由正弦定理得

sinAcosC+cosAsinC=sinAcosB-cosAsinB,

于是

sin(A+C)=sin(A-B),

即

sinB=sin(A-B).

又A,B∈(0,π)，從而

0

于是

B=π-(A-B)或B=A-B,

即

A=π(舍去)或A=2B.

故

A=2B.

證法4 (恒等變形為二倍角正切關系)由正弦定理得

sinB+sinC=2sinAcosB,

從而 2sinAcosB= sinB+sin(A+B)=

sinB+sinAcosB+cosAsinB,

即 sinAcosB=sinB+cosAsinB=sinB(1+cosA),

于是

sinAcosB=sinB(1+cosA)，

即

亦即

因為sinB≠0,所以

sinC=cosB,

又B,C∈(0,π),于是

解法2 (從正弦定理入手進行等價轉化)由正弦定理及A=2B,得

從而

a=2bcosB.

2bsin3B=a=2bcosB,

即

sin3B=cosB.

又A,B∈(0,π),從而

即

故

1)求f(x)的最小正周期；

分析 欲求f(x)的最小正周期、最值，首先要將f(x)化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式.

解 1)由已知得

點評 本題主要考查兩角和與差的正弦公式、余弦公式、二倍角公式，三角函數的最小正周期、單調性，以及基本運算能力.

例4 在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知acosB=bcosA，邊BC上的中線長為4.

2)求△ABC面積的最大值.

(2016年浙江省高三數學測試理科試題第16題)

1)解法1 (從正弦定理入手)由acosB=bcosA及正弦定理得

sinAcosB=sinBcosA，

從而

sin(A-B)=0，

于是

故

由余弦定理得

解得

解法2 (從余弦定理入手)由acosB=bcosA及余弦定理,得

整理得a=b，從而

令邊BC上的中線長AD=4,在△ABD中，由余弦定理得

從而

于是

即

82+a2=2(b2+c2)=2(a2+3a2)，

從而

于是

即

2)解法1 (轉化為角A)由第1)小題得A=B，從而

c=2acosA，

及

解得

于是△ABC的面積

解法2 (轉化邊)由A=B，a=b，在△ABD中，由余弦定理得

從而

于是△ABC的面積

在△ABD中，

解得

解法3 (轉化為角C)由A=B，a=b，在△ABD中，由余弦定理得

從而

于是△ABC的面積

因此

進而

9S2≤322,

即

當且僅當sin(C+φ)=1時等號成立.

解法4 (利用基本不等式)由第1)小題的解法3知

82+a2=2(b2+c2)=2(a2+c2)，

從而

a2+2c2=64.

設邊AB上的高線長為h，則

4 精題集萃

( )

( )

( )

( )

( )

A.11 B.9 C.7 D.5

7.方程3sinx=1+cos2x在區間[0,2π]上的解為______.

8.△ABC的內角A,B,C對邊分別是a,b,c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

1)求c；

1)求f(x)的定義域與最小正周期；

1)證明：a+b=2c；

2)求cosC的最小值.

參 考 答 案

1.B 2.D 3.A 4.C 5.B

8.解 1)在△ABC中，由正弦定理化簡可得

2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

整理得

2cosCsin(A+B)=sinC.

因為角A,B,C為△ABC的內角,所以

sinC≠0，且sin(A+B)=sinC，

因此

又0

2)在△ABC中，由余弦定理得

c2=a2+b2-2abcosC,

即

從而

ab=6,

于是

(a+b)2-18=7,

即

a+b=5,

所以f(x)的最小正周期為π.

10.1)證明 由題意知

化簡得 2(sinAcosB+sinBcosA)=sinAsinB,

即

2sin(A+B)=sinA+sinB.

因為A+B+C=π,所以

sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,

從而

sinA+sinB=2sinC，

故由正弦定理得a+b=2c.

??2016-12-29；

2017-01-30

曲文瑞(1977-)，女，吉林德惠人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O124

A

1003-6407(2017)03-42-06