例談2個動點間距離最值問題的幾種解題途徑*

●楊偉達 (花都區第二中學 廣東廣州 510820)

例談2個動點間距離最值問題的幾種解題途徑*

●楊偉達 (花都區第二中學 廣東廣州 510820)

有關距離的最值問題在中學數學中占有舉足輕重的地位，在全國各地的高考試題中也頻頻出現.它呈現出變化多、涉及面廣、形式靈活的特點，分值影響著數學高考的難度，其出現常常成為數學高考難度的“風向標”.

動點;距離;最值;解題途徑

眾所周知，距離問題本是一個古老的話題[1].但在每年的高考中，它常常成為專家命題的第一視角，是許多學生在數學考試中的絆腳石.因此，在解題中若能處理好有關距離的最值問題，則將對快速解題產生事半功倍的效果.下面是筆者從不同角度對2個動點間距離最值問題進行析疑解惑，凸顯“動”的魅力，煥發出“新”的活力.

1 借助特殊曲線，尋求等價替換

有這樣的一類題：2個動點分別在常見的特殊曲線上，且該特殊曲線具有特殊的性質.此時可以通過觀察圖形，利用圖形的特殊性質求得最值.

例1 已知⊙C的方程：x2+y2+2x-4y+3=0.

1)略;

2)從⊙C外一點P(x,y)向圓引一條切線，M為切點，O為坐標原點，且|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點P坐標.

分析 一個動點在圓外，另一個在圓上，且這2個動點的連線恰好是圓的切線(特殊).解決此題的關鍵在于利用圓的特殊性質，找到切線長作為等價替換，問題即可解決.

化簡得2x1-4y1+3=0(這就是點P滿足的軌跡方程).

因為|PM|=|PO|，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值.而|PO|的最小值可轉化為原點到直線2x1-4y1+3=0的距離，即

聯立方程組

解得

( )

圖1

分析 如圖1，畫出草圖，不難發現2條曲線相離，且位置比較特殊.觀察可知，曲線上2個動點的最短距離轉化為2個頂點(定點)間的距離，此時問題就變得簡單了.

解 因為M,N間距離的最小值是5,所以橢圓與拋物線不相交.

如圖1，此時拋物線的頂點與橢圓上頂點的距離就是動點M,N之間距離的最小值.拋物線的頂點N(0,2m2)，橢圓的頂點M(0,3)，從而動點M,N之間距離的最小值為5,于是

2m2-3=5,

解得m=±2.故選B.

2 借助三角函數，尋求合二為一

1)將曲線C和直線l化為直角坐標方程;

2)設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l距離的最大值.

(2016年廣東省廣州市第二次數學測驗理科試題第23題)

分析 此類型題在數學高考全國卷的選做題中常常出現.比較快捷的解決方法是利用參數方程表示曲線上的某一動點坐標，再根據條件轉化為求三角函數的最值問題.

3 借助數形結合，凸顯直觀形象

有這樣的一類題：它們的一個動點在某區域內，另一個動點在某特殊曲線上.此時2個動點間的距離問題可轉化為一個定點到區域內某一動點的距離最值問題.

( )

分析 此題涉及線性規劃問題.先將不等式組表示成平面區域，再根據圓的特殊性質,通過數形結合可解決問題.

圖2

解 由題意：平面區域D表示△ABO(含邊緣)的陰影部分，且A(0，3)，O(0，0)，B(1，1)；圓心C的坐標為(5，0)，半徑為1(如圖2所示).要求2個動點間的距離，可轉化為求定點到動點的距離,即先求圓心C到△ABO的陰影部分內任一動點的距離.經觀察可知，BC距離為最小,AC距離為最大,于是

4 借助二次函數，尋求配方到位

有這樣的一類題：2個動點分別在常見的特殊曲線上，且這些動點均可以用含參坐標表示.此時可以直接運用距離公式，把它轉化為一元二次函數然后求得最值.

例5 如圖3，以正方體的3條棱所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系O-xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上.當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究|PQ|的最小值.

(人教版《數學(選修2-1)》第113頁習題B組的

第2題)

圖3

分析 這是一道課本習題.2個動點分別在2條異面直線上，關鍵是把動點用含參坐標表示出來，再轉化為一元二次函數求最值.

解 設正方體的邊長為a.點P在對角線AB上運動，從而可設P(λ,λ,a-λ)(其中0≤λ≤a).又點Q在棱CD上運動，從而可設Q(0,a,μ)(其中0≤μ≤a),于是

|PQ|2= (0-λ)2+(a-λ)2+(μ-a+λ)2=

5 借助導數工具，尋求轉換條件

有這樣的一類題:它們的一動點在一個函數圖像上，另一動點在另一個函數(分段函數)圖像上.若運用兩點間距離公式，則方法簡單，但運算復雜，只能可望而不可及；此時若能借助導數這一工具，利用切線間的距離，則比較容易求得最值.

( )

分析 此題涉及到2個函數圖像上的2個動點問題，關鍵在于分別求出2條曲線上切線的最值，此時2條切線互相平行.此類問題要注意進行檢驗，防止“多一個”或“漏一個”.

解得a=2.

圖4

[1] 楊偉達.淺談解析幾何中幾種常見的最值問題[J].中學生數學，2014(7)：15-16.

??2016-09-14；

2016-10-28

楊偉達(1973-)，男，廣東廣州，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-06-03