高中數學數列問題中的遞推關系的應用

張秀慧

摘要：作為一名高中生無論是理科生還是文科生都需要學數學，并且數學在高考中的分數占比很高，同時也是拉開分數的主要學科，因此作為高中生想要在高考上考出好成績，就必須學好數學。數列是數學中極其重要的組成部分，同時也是在高考中的必考題型，在選擇題、解答題部分都會出現，分值在二十分左右。因此要學好數學就必須學好數列部分。在此背景下，文章主要介紹了高中數學數列文中中遞推關系應用的兩種途徑，希望可以廣大高中生以參考和啟迪。

關鍵詞：高中數學 數列問題 遞推關系 應用

在高中數學知識體系中數列是一個重要的組成部分，在選擇題、填空題以及解答題都有涉及，而要快速解答數列問題，就必須對題目中的數列關系有一個清晰的認知，對題目中的遞推關系有一個正確的處理，可以說遞推關系是數列問題解答的關鍵所在。基于此，文章從高中生角度，以自身在高中數學數列學習中的所思所感為背景，通過實際的題目講解，闡述了兩種在數列問題中，遞推關系應用的途徑，旨在幫助更多的高中生在數學數列問題解答上掌握一些解題技巧，提升解題速度和正確率，以下是具體內容。

一、等差、等比數列問題

等差、等比數列是數列問題的主要形式也是基礎，在面對一個數列問題時，最好的解題的途徑就是將其轉化為等差、等比數列，然后應用等差、等比數列的相關性質進行解答。以下以一道題目展開講解。

例一：禽流感是由流感病毒引起的一種疾病。某城市，在十一月一日出現二十例新的患者，并且以后的每一天都會出現比頭一天多五十例的新患者。該市的相關部門認知到了該問題嚴重程度，因此采取了相關措施，使該病毒傳染得到了有效的控制，在某一天起第二天產生的新患者比頭一天都少三十例。直到十一月三十號，在三十天的時間內，該市的患者一共達到了8670例。請問該市的新感染病毒最多的一天人數為多少，是哪一天？

在該題解答時，首先可以認知到這是一個數列問題，并且存在著一個遞增和遞減的關系，因此可以設在十一月n日，這一天的感染者最多，并且從一號到n號為一等差數列，等差為50；同時根據題意可以得出，從n+1天開始都三十號成一個等差數列，等差為30。

根據題意從一號到n號的等差數列為an，并且a1=20，d=50，因此在n號的感染人數為an=50n-30。從n好到三十號，其形成的等差數列為bn，并且b1=50n-60，d2=-30，因此bn=20n-30。

根據以上關系可以得出在十一月三十號的感染人數為b30-n=20（30-n）-30=570-20n。進而可以使用等差數列的求和公式，去除總的感染者為（20n+20-30）n/2+（30-n）[（570-20n）-60+50n]/2=8670

化解為n2-61n+588=0

n=49或n=12

因為一個月最多只有三十天，n=49舍棄，所以在十一月十二日這一天是感染者新產生最多的一天，其人數為570例。

二、an-an-1=f（n）形式的等差等比數列遞進關系的應用

在一些應用題中數列的遞推關系十分含糊，an與an-1的商或者是差不為常數，但是其所得商或者是差呈數列關系，就需要先需要運算一步之后，才能找出其中的遞推關系，屬于an-an-1=f（n）形式的遞進關系，該類題型是難度較大的一類題。以下以一道題目展開講解。

例二：對于一個產品而言，其在市場中都是有一定時效性的。現有一產品，根據市場調研可知，在不做廣告前提下，每售出一件的利潤為a元，可售出b件。在做廣告時，其廣告費為n千元是其效果比（n-1）時更好，可以多賣出b/2n（n≥0）件產品。

（1）寫出銷售量S和n之間的函數關系

（2）如果a為10，b為4000，此時商家應該生產多少件產品，投入多少廣告費，才能實現獲利最大？

解：（1）函數關系的求解，首先可以設在廣告費為n千元時銷量為Sn，因此在（n-1）千元時的銷量為Sn-1。

因為Sn-Sn-1=b/2n

所以可知Sn-Sn-1為一等差數列

所以S=b+b/2+b/22+b/23+...+b/2n=（2-1/2n）b。

因此當為n千元時函數關系式為S=b+b/2+b/22+b/23+...+b/2n。

（2）當b=4000時，根據（1）得出的結論可知此時S=4000（2-1/2n）。設此時的獲利為t，因此可以得出t=10*S-1000n=40000（2-1/2n）-1000n

要求出最大值Tn，

則必須滿足Tn≥Tn+1且Tn≥Tn-1

求解的n≥5且n≤5，故此n=5

帶入式子求得S=7875

即做5000元的廣告，生產7875件產品，獲利最大。

三、結語

綜上所述，作為高中生的我們，要取得好的成績的必須學好數學數列，文章主要介紹了在一般等差、等比數列、an-an-1=f（n）形式的等差等比數列的遞推關系應用的解題途徑和方式。希望可以幫助更多的高中生，能夠在面對數列問題時，冷靜的找出其中的遞推關系，并作出正確的分析，提升解題正確率，同時也提升整體的數學素質。

參考文獻：

[1]白曉潔.新課標下高中數學數列問題的研究[D].河南師范大學，2013.

[2]姜振平.鎖定遞推模型智取數列通項[J].高中數理化，2011，（13）.[3]鄭一平.與時俱進中的高考數列考查新熱點——近年高考數列與相關知識交匯問題考查熱點歸類分析[J].中學數學研究，2012，（05）.

[4]劉鐵龍.利用函數思想解釋數列通項公式求法——以《一類數列通項公式的求法》一課教學為例[J].延邊教育學院學報，2015，（02）.

（作者單位：萊蕪市第一中學 55級1級部12班）