綜合法與向量法在立體幾何教學(xué)中的對(duì)比研究

詹曉燕

【摘要】在立體幾何教學(xué)中，會(huì)運(yùn)用綜合法和向量法.兩種方法并無好壞之分，只有合理進(jìn)行方法的運(yùn)用才能夠更好地完成立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí).基于這種認(rèn)識(shí)，本文對(duì)兩種方法的運(yùn)用問題展開對(duì)比研究，以便更好地理解和運(yùn)用這兩種方法.

【關(guān)鍵詞】綜合法；向量法；立體幾何教學(xué)；對(duì)比

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，立體幾何通常被劃分為兩個(gè)部分教學(xué).在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生將掌握綜合法和向量法.運(yùn)用這兩種方法，可以加強(qiáng)學(xué)生空間想象力和論證推理能力.但在解題的過程中，還應(yīng)靈活進(jìn)行解題方法的選擇，才能夠確保立體幾何問題得到順利解決.

一、綜合法與向量法在立體幾何教學(xué)中的運(yùn)用目的

在解答高考題時(shí)，立體幾何試題的設(shè)計(jì)往往可以運(yùn)用綜合法和向量法這兩種方法進(jìn)行解答.立體幾何教學(xué)是為了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力、圖形語言能力、論證推理能力.就目前來看，由于使用向量法可以完成程序化操作，無須進(jìn)行過多思考，很多學(xué)生更傾向于使用向量法解答立體幾何問題.然而，偏重使用向量法解題，并不利于學(xué)生推理論證和空間想象等能力的培養(yǎng).

二、綜合法與向量法在立體幾何教學(xué)中的運(yùn)用方法對(duì)比

（一）綜合法的運(yùn)用

使用綜合法解立體幾何題目，要求學(xué)生擁有一定的空間構(gòu)造能力，可以排除點(diǎn)、線、面之間的相互干擾，從而發(fā)現(xiàn)題目的隱含條件，并進(jìn)行問題的求解.為研究綜合法的運(yùn)用方法，可以一道試題為例，對(duì)其解題過程展開研究.

例1如右圖所示，P為圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐底面圓心，圓錐底面與母線夾角為22.5°，底面圓上有兩條平行線AB和CD，軸OP與平面PCD夾角為60°.需證明：平面PCD與平面PAB的交線與地面平行.

在求解該例題時(shí)，通過分析可以發(fā)現(xiàn)，問題考查的是學(xué)生對(duì)空間直線與平面的位置關(guān)系的理解，需要學(xué)生擁有計(jì)算直線與平面和直線與直線夾角的知識(shí)和技能.而這種類型的幾何模型通常如果利用空間直角坐標(biāo)系求解，不容易完成三垂直關(guān)系的查找，也不好計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo).所以，如果使用向量法求解，將使問題更加復(fù)雜.使用綜合法求解，則可以通過畫輔助線求解，從而使問題得到簡(jiǎn)化.具體來講，就是設(shè)平面PAB與PCD的交線為l，然后作圖，并使l與AB平行.根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理以及公理1，就可以證明l與底面平行.

在實(shí)際做輔助線時(shí)，不少學(xué)生難以找到二面角的平面角.而使用三垂線定理，則能夠幫助學(xué)生提高解題效率.在計(jì)算角時(shí)，則要將其放在三角形中，然后利用三角形知識(shí)進(jìn)行角的求解.

（二）向量法的運(yùn)用

使用向量法解答立體幾何，可以直接幫助空間想象力稍差的學(xué)生擺脫點(diǎn)、線、面關(guān)系的困擾，也無須進(jìn)行輔助線的添加，只需計(jì)算坐標(biāo)就能夠得知角度、距離和位置等關(guān)系.但是，使用向量法需要完成合適的空間坐標(biāo)系的建立，才能夠順利完成問題的求解.在具體建立空間坐標(biāo)系時(shí)，可以利用線面垂直關(guān)系、面面垂直關(guān)系、正棱錐中心與高所在直線或共頂點(diǎn)相互垂直的三條棱完成空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建.為研究向量法的運(yùn)用方法，可以下面的試題為例，對(duì)其解題過程展開研究.

例2四邊形ABCD為矩形，滿足AB=2BC=2.平面ABCD⊥平面PCD，△PAB為正三角形，O為CD中點(diǎn)，且BO⊥PA，求二面角B-PA-D的余弦值.

分析例題可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)已知條件，可以D為坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建.坐標(biāo)系的X軸為DC所在射線，Y軸則為DC右側(cè)與DC垂直的射線，Z軸為DA所在射線.該坐標(biāo)系為右手系，由于△ADP≌△BCP，所以CP與DP相等，OP垂直于CD，所以PO平行與Y軸.經(jīng)過計(jì)算，可以得出OP=2.由此，就可以得到A、P、O、B各點(diǎn)坐標(biāo).在對(duì)二面角B-PA-D的平面角進(jìn)行求解時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面法向量間夾角或補(bǔ)角，然后寫出各向量坐標(biāo)，并運(yùn)用向量法完成各向量坐標(biāo)求解.在此基礎(chǔ)上，完成向量間夾角的計(jì)算，就可以完成二面角的余弦值求解.

在實(shí)際解題時(shí)，一些學(xué)生會(huì)認(rèn)為建坐標(biāo)系比較困難.針對(duì)這一問題，教師需要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用已知點(diǎn)和已知直線建系，并且完成兩兩垂直的三直線的查找.考慮到教科書中建立的空間直角坐標(biāo)系都是右手系，學(xué)生還應(yīng)該盡量建立右手系，以免對(duì)教師評(píng)分產(chǎn)生影響.在選取二面角時(shí)，還要根據(jù)法向量的選取方向進(jìn)行二面角的選取.為避免學(xué)生在看圖上出現(xiàn)誤差，教師可以補(bǔ)充案例說明二面角的判斷方法.在法向量方向都指向二面角外部或內(nèi)部的情況下，法向量與二面角的夾角是互補(bǔ)關(guān)系.反之，則法向量與二面角的夾角相等.

（三）方法的對(duì)比分析

對(duì)比綜合法和向量法的運(yùn)用過程可以發(fā)現(xiàn)，向量法的思路更為簡(jiǎn)單，但是需要學(xué)生擁有一定的計(jì)算功底.學(xué)生在計(jì)算向量坐標(biāo)時(shí)，需要確保點(diǎn)的坐標(biāo)完全正確，才能避免后續(xù)計(jì)算不會(huì)完全徒勞.所以，向量法是利用空間向量和立體幾何間的聯(lián)系進(jìn)行立體幾何的解釋，從而通過運(yùn)算空間向量得到立體幾何結(jié)論.而綜合法則能夠更好地體現(xiàn)立體幾何課程的開設(shè)意圖，可以引導(dǎo)學(xué)生思考立體空間中點(diǎn)、線、面的關(guān)系，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.但是對(duì)于空間想象力較差的學(xué)生來講，想要利用綜合法解決立體幾何問題需要花費(fèi)一定的時(shí)間思考.因此，在立體幾何教學(xué)中，向量法和綜合法各具一定的優(yōu)缺點(diǎn).