放慢教學，等待童心—整體設計小學數學研究作業，彌補知識點的散狀割裂

江蘇省蘇州市金閶外國語實驗學校 劉東衛

放慢教學，等待童心—整體設計小學數學研究作業，彌補知識點的散狀割裂

江蘇省蘇州市金閶外國語實驗學校 劉東衛

吳亞萍老師提出：“數學教材大多是把數學知識的整體劃分成一個個知識點，以‘點’為單位，按知識點的難易程度來編排教學內容，要求教師根據知識‘點’的安排在‘課’時單位內進行教學。……教師只圍繞‘點’就事論事……學生缺乏對數學知識形成發展過程來龍去脈的了解和把握。……更令人擔憂的是，數學教學異化為單一解題教學的現象進一步被強化。……教師局限于‘點’進行備課的習慣方式，導致教師忽視‘點’背后的知識整體之間的結構關系。……于是，教學中割裂知識整體之間豐富內在關聯的現象，也就在情理之中了。……”為此，筆者探索整體設計小學數學研究作業的實施，以此來彌補知識點的散狀割裂。

一、放慢進度，以教材內容為基礎適當補充知識的“來龍”

從知識點的數量上來看，教材給學生的理解應用制造了一定的困難；從編排意圖來看，編者旨在整體呈現三角形和特殊四邊形的面積計算方法，便于“轉化”思想的滲透。吳老師犀利指出：教材的呈現方式把“結果形態”的符號化知識不加轉化地直接搬進教材。作為一線教師深有同感，此幾何單元忽略了四邊形分類與圖形特征之間的內在聯系；三角形、四邊形的“內角和”度數證明的動手操作，對面積計算推導的推波助瀾。面積概念內涵的理解，對“平行四邊形面積計算為什么與底和高有關”“三角形、梯形面積計算為什么要除以2”這兩個問題的回答至關重要。

為彌補教材的“忽略”，筆者在教學平行四邊形的認識之前，補充了研究作業，課題為：①根據三角形按邊、角分類，對四邊形進行分類；②根據你的分類剪三角形、四邊形若干個（提示：三角形剪不少于3個，四邊形不少于8個）；③利用你剪的三角形、四邊形，動手操作證明三角形和四邊形的內角和是多少度。以下為學生的研究過程，我們可以看到學生將邊的特征會與角的特征綜合思考進行分類，如：

四條邊相等自然會想到四個角也相等，“正方形”呼之欲出，在課堂教學反饋時，教師利用吸鐵小棒教具，讓學生聚焦邊的特征，即一個空心的四邊相等的四邊形。在搭建小棒的過程中，四邊形的易變特性凸顯，如果任意拉動四條邊，學生就會發現四邊形內角有對角相等的規律。孩子們驚呼：是菱形嘛！又有學生感嘆：那不也是平行四邊形嘛！由此我們可以感悟：學生對于“下位概念”的認知優先于“上位概念”，如果就事論事地教學“下位概念”的內涵與外延，其實是在重復孩子的原有學習狀態，“枯燥感”不言而喻。因此筆者非常崇拜吳老師提出的觀點：尋找圖形的特性和共性的過程，……有利于促進學生形成具有穿透力的敏銳眼光，……還要補充一句：教師的教學熱情被孩子們的靈光閃現而點燃！

二、給足時間，以學生的起點為本體設計“因人而異”的研究作業

就上一論點的結尾，放慢教學進度的目的在于給足學生研究的時間，這個時間的充裕不能片面地說是把課堂的40分鐘還給學生。如果這些研究課題能在若干個40分鐘內解決，那是不現實的。筆者以自己任教學生的實際起點為本，不斷調整研究作業的實施。如右圖是兩位學生的研究作業，完成得十分出色，而她們都是性格內斂的女孩，在課堂中羞于大膽發言，表明觀點。如果把研究作業設置在家庭作業中，那么這些不張揚的孩子們更能通過文字圖形盡情研究，展現自己的才華。筆者發現整個班級至少有三分之一的孩子是適合家庭研究作業的。以上左圖是小赫同學在研究了三角形、四邊形的內角和后，拓展了六邊形內角和的研究。筆者問她：“為什么不研究五邊形的內角和？”她說：“在動手操作移拼的過程中無法拼出兩個周角，六邊形正好能實現。”小顧同學提示：“因為四邊形可以分割成兩個三角形，一個三角形的內角和是180°，那么四邊形內角和就是180°×2=360°；以此類推，五邊形可以分割成四邊形和三角形，那么五邊形內角和是180°+ 360°=540°。何必再用剪拼的方法拓展證明呢？”這樣的生生互動，讓大家熱血沸騰。小顧又說：“老師，我忽然想到等差數列的公式可以通過多邊形內角和的規律進行驗證，我也明白了奧數老師教的公式了，根本不需要背嘛！”

給足時間讓孩子專注研究平面圖形的內角和，為后續學習圖形面積的計算提供了更廣闊的思路。就如上右圖小雋同學，她在研究三角形內角和的第一種方法，通過折的方法，將三個角拼合成平角。不要小看她的方法，這個方法給其他同學開拓了面積計算的推導過程。如右圖是小楓同學受到啟發后的驗證，筆者利用他的思考過程引導學生互動：三角形的面積包含了兩個相同長方形的面積，這個長方形的長和寬分別是三角形底和高的一半，即：因為S長方形=(a÷2)×(h÷2)，又因為S三角形=2S長方形，所以S三角形=(a÷2)×(h÷2)×2，化簡后的三角形面積計算公式：S三角形=(a÷2)×h。

三、靜心關注，以學生在過程研究中的“智慧火花”為教學資源進行深度開發

還是以面積計算推導為列，學生對“面積”的概念的理解還是有障礙的，特別是面積單位的理解還停留在表層。為此，筆者設計了研究作業：回憶長方形面積計算猜測平行四邊形面積如何計算？前文中小雋的思考給了大家一個參考：平行四邊形有斜邊，是否能用“正三角形”作為面積單位來測量面積？這個猜想讓我想到潘曉明老師關于平行四邊形面積的教學案例中，提到有的同學認為平行四邊形的面積與兩條邊有關，通過驗證此猜想不成立，平行四邊形的面積與一條邊和它所對應的高有關。當時，我閱讀后，對教師的處理與學生的辯駁一直都沒有理解，在當時自己任教的班級里嘗試后也感覺是“囫圇吞棗”。時隔四年，小雋同學給了我很大的啟發，現在做以下梳理：由于面積單位是規定單位的正方形，即邊長為1厘米、1分米、1米等的正方形，因此長方形的面積可以用正方形的方格紙直接測量；而平行四邊形有半格現象，所以孩子會自然而然地想到改變面積單位的形狀，用正三角形作為面積單位，可以得到整數個的面積單位。之后她又自我改變了思路，這樣的面積個數與邊的長度無關，無法通過長度的乘積得出面積單位的個數。除了用規定單位的正方形作為面積單位，在實際生活中還會用正圓來做面積單位解決實際問題。就如蘇教版中一個練習：這樣的8堆木材，一共有多少根？

筆者提示：這些木堆的橫截面是梯形，木棍的橫截面是正圓，并且有規律地平鋪于梯形的表面，那么木棍的根數與梯形的面積有關。再請學生獨立思考：求梯形面積所需的條件，上下底的根數以及層數。

四、開拓視野，幫助學生提煉數學知識的發展過程

通過閱讀吳老師撰寫的《新基礎教育數學教學改革指導綱要》中關于三角形、平行四邊形、長方形、梯形面積之間互相轉化的指導，以及整體的歸納。忽然明白自己的“小打小鬧”如果沒有全局觀的統領，那么孩子對數學知識的發展過程將是“一知半解”的。因此筆者布置了研究作業：運用轉化的思想推導三角形、梯形的面積計算公式，其中兩位學生的梯形面積推導值得一提，精彩在于中位線的認識與理解，對學生面積計算的推導證明有著推波助瀾之力。梯形面積計算的方法得以拓展，即：中位線×高。

就以上觀點綜合所述，“急生活，讓我們丟了生活”，那么操之過急的教學，會讓我們迷失孩子本真。他們的“真心”需要我們教者放慢自己行走的速度，和“蝸牛”一起牽著走。