已知多元變量關系求最值問題的解決策略

江蘇省高郵中學 古模楷

已知多元變量關系求最值問題的解決策略

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在各地高考以及高考模擬試題中，一類已知多元變量求最值問題的題目通常以填空題的形式出現，這類題目的特點是變量多（通常為2-3個）、形式多樣（不等式條件和等式條件），有些題目難度較大，學生解決起來比較困難。筆者根據自己的教學實踐，從解決策略的角度對這類問題做了一個歸類，與諸位同仁共勉。

策略一：運用整體思想，尋求“結論整體”與“條件整體”之間的關系。

有些題目“條件整體”與所求“結論整體”的關系較為明顯，這時只要找到這種關系，就可以選擇恰當的方法來解決，在解題方法選擇中，往往要遵循“整體運用優先”的原則。

策略二：運用消元思想，將多元問題轉化為兩元甚至一元問題求解

本題利用條件等式中的關系，將三個變量中的y用另外兩個變量x，z來表示，將三維變成了兩維，然后直接利用基本不等式求解。

本題為三元變量問題，而且已知條件為不等式形式，無法直接代換消元，這里采用不等式的性質中的兩邊同乘以一個正數的性質成功將三元代換為兩元，這里重心是消元。

策略三：運用轉化思想，將代數問題轉化為幾何問題。

有些問題從代數角度來講似乎無法處理，這時如果從幾何意義的角度看，也許就會峰回路轉，立即找到解決問題的方法與技巧。

解決本題的關鍵主要是注意到原式的分式特征，從代數角度無法解決，但聯想到直線的斜率特征和分式的特征，從幾何角度去看問題就迎刃而解了。

策略四：利用不等關系中的相等條件，取得最值的條件是關鍵。

對于條件為不等關系的式子，可以抓住其“不等條件”中的“相等關系”來代換消元，但要特別關注最后要求的最值的前提是不等關系中的相等關系必須成立，否則方法失效。

總之，這類問題在高考中時有出現，其難度相對較大，這就要求同學們在平時多思考，善于將題目的條件與結論合理聯系與恰當轉化，還要善于總結，并在上述幾個策略的指導下經過較長期的歷練，方可取得理想的效果。