凝視不動量，探究導數問題中的“變”與“不變”

江蘇省高郵中學 朱 俊

凝視不動量，探究導數問題中的“變”與“不變”

江蘇省高郵中學 朱 俊

利用導數求函數的極值進而求最值，再通過最值解決數學中的其他問題，是高考中的一種常見題型。導數問題中的“變”一般變的是函數表達式中的常數字母，它是相對于自變量而言的常數，但又是變化著的常數，它的變化會影響函數式，使函數式具有不同的性質和特征；“不變”指的是字母、參量變化過程中的不變性質，或者是不變的函數值，盡管參量字母變化時，函數性質發生了質的改變，但還是有某些“性質點”是不變的，而這些“不變”的條件很有可能是我們解決問題的突破口。在實際解題中，很多時候我們不一定非要通過復雜的討論和運算，才能弄清楚參量和函數的關系，適時地觀察、猜想和驗證能夠幫助我們得到一些必需的隱含條件，從而進一步完善和優化解題過程，體現導數的工具性，給我們柳暗花明又一村的感覺。

點評：本題為試卷最后一道大題的第二問，難度中等，審題過程中是一個非常重要的切入口，表明對應的就是函數的最小值點，并在討論的過程中抓住這一關鍵就能夠幫助我們舍棄很多不必要的討論和計算過程。因此，在拿到較復雜的函數式時，靜心凝視，抓住關鍵，或許能發現很多“變幻莫測”中的不變量，并因地制宜，克敵制勝。

點評：本題為試卷倒數第三道大題，重點考查了對導數這個工具的應用和理解，但同時也注重了對個人能力和數學素養的考查。先通過作差將幾何關系轉化為數學表達式，構造函數求導，遇到較復雜的導函數時應平復心情，“靜心凝視”關鍵條件和數學表達式，不要忽視一些固有的、不變的性質和信息，比如單調性、特殊值等，往往有意外收獲。

點評：本題為一道填空題，因為不需要嚴格的論證過程，因此選擇數形結合，借助圖像來尋找答案。通過導函數來刻畫未知復雜函數圖象是一種非常常見和典型的填空題型，單調性和支撐點是畫圖的關鍵，如果導函數形式較為復雜，阻礙我們前進，我們必須“靜心凝視”，發現并把握住圖形和導函數的固有特征，找到這樣一個突破口，再結合左增右減，得到大致圖像，下面就迎刃而解了。

[1]劉玉娟．從觀察中發現——解導數綜合題的銳利工具[J]．文理導航，2011（1）：40-40．

[2]徐進勇．觀察法在導數中的應用創作說明[J]．數學微課1009，2015-2-18．