數學核心素養下“好題庫”資源的開發和利用

郭建華+++陸道春

摘 要：數學核心素養是學生在數學學科內所具備的基本素養.“好題庫”資源的創建和利用可以促成學生基礎知識的積累，加強解題基本技能和思想方法的掌握，訓練和優化學生的思維品質，讓核心素養在數學學習過程中得以更好地體現和落實.

關鍵詞：核心素養；好題庫；解題技能；思維品質

精心選擇學習素材，構建學習情境，設計符合學生認知規律的、自然而清楚的系列數學活動，引導學生通過多樣化的學習方式，掌握數學知識，形成思維能力，并在運用數學知識解決問題的過程中培養創新精神和實踐能力，從而實現核心素養的發展目標[1].為了更好地落實數學核心素養，豐富學生的學習方式和優化學生的思維品質，在基于數學核心素養的解題教學中嘗試設計一種新型的作業——創建“好題庫”.以此為載體，讓“好題庫”中的“好”題“活”起來，將它們開發成一種寶貴的教學資源，并挖掘其潛在的教學價值.盡量讓每一位學生都參與學習，更重要的是要做到思維的參與，真正讓學生成為學習的主人，因此很有必要對其進行一些有益的探索.

一、數學核心素養下“好題庫”資源的開發

（一）教師指導學生分組

數學課代表為“好題庫”協調員.教師指導學生分組，并對小組編號，每組推選一位組長，要求每天每組安排一個人供一道題，并提供詳細參考答案，寫在答題卡上（答題卡見表1）.組長將題目交給協調員，協調員和各組組長選出“好題”，送任課教師.由任課教師把關，評出“好題”，貼在班級的黑板報內，并對全班同學征集其他解法和大家點評，然后由協調員收回整理，最后教師寫點評，協調員整理好放入“好題”資料架上，為大家提供一個學習交流的平臺.

（二）教師指導學生選題

首先，必須參考高考考試說明，了解命題的指導思想和考試內容及要求；其次，要求學生從做過的題目中選題，并思考本題所考查的知識點、數學思想方法、解題技巧等；最后，指導學生依據教學進度供題，同時要注明供題的理由.另外，其他同學也可以對該題進行再研究（解法的探究、變式的訓練等），并整理研究成果，然后大家一起交流，補充在備注欄. 學生選題的過程其實就是學生思維的呈現過程，它包含了描述問題、數學表達、建模解模、驗證結論、反思完善等，有助于深化理解數學知識間的聯系，更有助于靈活掌握“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）.

（三）教師指導學生整理

協調員每周一都要為上周的“好題”裝訂并寫目錄，便于大家查閱.教會學生“會學”數學，注重培養學生的理性思維，是數學教育的基本目標之一，也是數學核心素養的重要體現.良好的數學思維品質是在教師的“教”與學生的“學”的有機結合過程中，有針對性、有計劃、有目的的訓練中得以培養和發展的.利用“好題庫”資源的開發和利用，引導學生學會運用數學的立場、觀點、方法來處理問題，進而優化學生的思維品質.

二、數學核心素養下“好題庫”資源的利用

核心素養在數學學習中要得以落實，關鍵是“示以學生思維之道”，使學生學會思考，學會學習，能用數學的方式分析和解決問題.為了更好地落實核心素養，從學生作業方面作了一些改革——創建“好題庫”.一方面，通過典型習題能及時復習鞏固所學知識，加強對當節內容的理解和應用；另一方面是挖掘習題的潛在教學功能，引導學生探究，讓學生主動參與解題教學活動中，促進學生積極思考，培養學生的數學思維品質，讓核心素養在解題教學過程中得以更好地體現和落實.

（一）借“好題”書面交流 培養學生思維的獨創性

蕭伯納有句名言：“兩個人，每人有一個蘋果，交換一下，仍是每人一個蘋果；兩個人，每人有一種思想，交換一下，每人就有兩種思想.”那么對于一道“好”題，課堂上畢竟時間有限，課下老師和學生可以進行書面交流.從不同角度去剖析研究，大家會對題目研究得更透徹，會起到舉一反三，觸類旁通的效果.

案例1 （2008年江蘇卷第14題）設函數f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，則實數a的值為 .

（1）推薦理由

通過多方位、多角度、多途徑進行觀察和思考，尋找解決問題的最佳途徑.不僅激發學習數學的熱情，加強對數學概念的理解，還能增強處理數學問題的能力和發展創新意識.

（2）解法探究 這樣引出了該問題的第三種解法，不分離變量，利用導數求解，教師再給予引導和點評，導數法是求該類問題的通性通法.

（3）教師點評

學生將自己的想法寫下來與教師書面交流，教師不僅為學生留下批閱的痕跡，提出修改建議或拋出問題，啟發引導學生再思考，還能不斷地激活學生思維和完善解題過程.用教師的追問培養邏輯推理、數據處理、數據分析等數學核心素養，這遠比讓學生單純解幾道題的意義更大，這樣不僅讓學生掌握了解這類題的通性通法，還讓學生經歷發現問題、分析和解決問題的過程，體驗數學的嚴謹性和科學精神，凸顯學生思維的獨創性，也正是數學核心素養的體現.

（二）通過“好題”糾錯反思 培養學生思維的批判性

“錯誤”是最好的老師，挖掘隱藏在“錯誤”背后的智力因素是最重要的.面對“好題”的錯解，應充分暴露學生思維的過程，提出具有啟發性和針對性的問題，并順著學生的思路將“合理成分”激活，讓錯誤“出彩”，讓好題“活”起來.另外，還要借助錯誤幫助學生重建知識體系，促進學生學習方式和思維方式的改變，更有助于培養學生思維的批判性和科學精神.

案例2 如果函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10，求實數a，b的值.

（1）推薦理由

通過這道易錯題達到完善認識、提高能力、優化思維的目的.另外還提醒大家在高三復習中要吃透定義、定理和概念，以免走彎路.

（2）錯解再現

由f（x）=x3+ax2+bx+a2，得f'（x）=3x2+2ax+b，由題意知f（1）=10，f'（1）=0，即1+a+b+a2=10，3+2a+b=0，解之得a=4，b=-11，或a=-3，b=3.

（3）錯因分析

對于可導函數f（x），f'（x0）只是f（x）在x=x0處取得極值的必要條件，要在x=x0處取得極值，還必須滿足f'（x0）在x0兩側異號，所以，此解法求得的結果不一定正確.

（4）教師點評

數學概念本質屬性和內在聯系的揭示是概念教學的重要環節，也是提高學生數學素養的關鍵.示錯的實質就是故意制造或擴大學生認知結構的不協調，引發認知沖突.示錯得體，必將點燃學生思維的火花，引發質疑、思考，在數學交流中形成思維碰撞，將淺層次的思考轉化為深刻思維，有利于促進學生多角度理解和把握問題本質.

（三）通過“好題”多解探究 培養學生思維的廣闊性

在數學解題教學活動中，注重多方位、多角度的思維方式，有助于學生對相關知識系統的把握，整體建構，更能激發學習興趣，從而提高探究問題和解決問題的能力，對培養學生思維的廣闊性大有益處.

案例3 在△ABC中，點D在邊BC上，且DC=2BD，AB∶AD∶AC=3∶k∶1，則實數k的取值范圍為 .

（1）推薦理由

本題含有很多讓學生創造和探究的元素，通過對題設條件的挖掘和再創造，能尋求到更好的求解方案.不僅有利于培養學生的鉆研精神和創造能力，而且有利于培養思維的靈活性和陶冶情操.

（2）解法探究

（3）教師點評

此題內涵豐富，解法頗多，是一道提高學生解題能力的好題，更是培養學生思維廣闊性的好題.一題多解，更重要的是對解法的比較和改進，在不同解法的優化中提升學生的解題能力和數學建模能力，為鍛煉學生的數學素養提供一個平臺.

（四）通過“好題”變式探究 培養學生思維的靈活性

通過“好”題變式探究，有意識、有目的地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，有助于培養學生理性思維的靈活性.

案例4 若關于x的方程3tx2+（3-7t）x+4=0的兩個實根α，β滿足0<α<1<β<2，求實數x的取值范圍.

（1）推薦理由

選自蘇教版高中數學必修1第3章復習題第14題（第111頁）課本中的習題，它不僅僅是鞏固基礎知識、提煉解題方法、發展思維能力的載體，它也可作為我們探究教學的重要資源.

（2）探究變式

變式1 設函數f（x）=3tx2+（3-7t）x+4（t<0）的兩個零點x1，x2，且在區間（x1，x2）上恰有3個正整數，求實數t的取值范圍.

變式2 已知函數f（x）=eg（3tx2+（3-7t）x+4）的值域為R，求實數t的取值范圍.

變式3 已知函數f（x）=3tx2+（3-7t）x+4（t>0）.是否存在整數a，b（其中a，b是常數，且a

變式4 已知t∈R，函數f（x）=3tx2+（3-7t）x+4.當t∈[1，2]，f（x）>0恒成立，求實數x的取值范圍.

（3）教師點評

“變式教學”應不斷追求立足于教材并創造性地使用教材.在教學中體現學生的主體地位，調動學生的主觀能動性，激活其原有認知結構中適當的觀念和感性經驗，調動起學生有意義的學習心向，從而產生主動參與學習的動力.在學生的“最近發展區”內進行變式探究，才能有利于同化或順應于學生已經形成或正在形成的認知結構，以及加深對問題本質的理解，培養學生思維的靈活性，為數學核心素養的落實奠定基礎.

三、結束語

事實上，真正的改革發生在課堂.數學教學的基本任務是幫助學生把一個個數學知識理解到位并能用于解決問題，這是實實在在的事情.這樣，從平凡的日常教學中思考落實新理念的方法，在數學知識的教學中尋找發展學生核心素養的途徑，應成為思考的基本出發點[4]..在解題教學中以創建“好題庫”為載體，指導和鼓勵學生獨立去化解疑難，激發學生探究問題的熱情，探索最適宜自己的問題解決路徑.通過該作業形式的訓練，不僅讓學生掌握數學知識，形成思維能力，而且還要在運用數學知識解決問題的過程中培養學生的創新精神和實踐能力，為實現核心素養的發展目標夯實基礎.

參考文獻

[1]章建躍.再談學生發展核心素養如何落實在課堂上[J].中小學數學（高中版），2016（4）：66.

[2]劉增娣.宏觀把握 追本溯源——讓解題思路自然而生[J].中學數學研究， 2015（2）：35.

[3]郭建華.再談一道填空題的另解及妙解[J].中學數學研究， 2016（6）：37.

[4]章建躍.樹立課程意識 落實核心素養[J].數學通報，2016（5）：4.