例析2016年浙江數學高考試題解答中的化動為定

沈順良

摘 要：動態問題可化歸為靜態確定的問題來解決，如一般幾何問題轉化為基本圖形來解決，變量問題轉化為定值問題，動態圖形轉化為特殊位置或特殊點情形，動態問題還可以利用其中的確定條件加以簡化.化動為定在高考試題的解決中較為常見，對一般數學的解題也有較好的參考作用.

關鍵詞：動態；變量；化歸；確定

遇到動態的圖形、變化的數、一般情形下的問題，往往直接解決較為困難，許多可以轉化為基本、特殊、確定的圖形和數，其中蘊含著化歸思想，2016年浙江數學高考理科試題中有較多的動態或變量問題，下面加以例舉和分析.

一、移動到基本的圖形

基本圖形是組成一個幾何問題的最簡單而重要的圖形，它具有特定的性質，也是學生所熟悉的.平移變換不改變圖形的形狀和大小，它能將較復雜的線段圖形問題，化歸到基本圖形問題.

例1 （2016年浙江數學高考理科卷第6題）如圖1，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2 ，n？埸N*，|BnBn+1|

=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2 ，n？埸N*，（P≠Q表示點P與Q不重合）

若dn=|AnBn|，Sn為△AnBnBn+1的面積，則

A.{Sn}是等差數列 B.{Sn2}是等差數列

C.{dn}是等差數列 D.{dn2}是等差數列

分析：各△AnBnBn+1的底邊長相同，故它們的面積比較主要是看各三角形的高的比較（如圖1的虛線垂線段長）.分別過A1、A2、A3、…作平行于B1B2的線段A1C1、A2C2、A3C3、…，根據三角形全等得到這些小直角三角形的高相等，即A2C1=A3C2=A4C3=…，從而得到各△AnBnBn+1的高成等差數列，因此面積也成等差數列，選A.

本題也可以化為確定的基本圖形，取頂點為O的45°銳角，|OB1|=|B1B2|=…=1，以B1、B2、B3、…為垂足對應垂線與角的另一端交于A1、A2、A3、…，則各△AnBnBn+1的底邊長都為1，高分別為1、2、3、4、…，顯然答案為A.

二、取到能確定的數

特殊化策略在認識和解決問題時經常用到，它是將待解問題先解決它的特殊情況，然后將結果運用到一般情況，使原問題獲解.對于字母變量較多的范圍、不等式等問題，我們可以運用特殊化策略，取合適的特殊數代入探究.

例2 （2016年浙江數學高考理科卷第8題）已知實數a，b，c.

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2<100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2<100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2<100

分析：本題對于滿足條件的變量a，b，c難以直接解決，取能判斷不等式成立與否的特殊值可以排除.選項A可取a=10，b=10，c=-110排除；選項B可取a=10，b=-100，c=0排除；選項C可取a=10，b=-10，c=0排除.故選D.

理科卷的第5題：設函數f（x）=sin2x+bsinx+c，則f（x）的最小正周期

A.與b有關，且與c有關

B.與b有關，但與c無關

C.與b無關，且與c無關

D.與b無關，但與c有關

分析：由于f（x）=sin2x+bsinx+c=+bsinx+c.當b=0時，f（x）的最小正周期為π；當b≠0時，f（x）的最小正周期為2π.c的變化會引起f（x）圖象的上下平移，不會影響其最小正周期.故選B.

三、確定取最值的位置

在較復雜的動態圖形最值問題中，往往涉及多個動點，難以直接設元轉化為函數最值.如果能將其中一個動點按照取得最值確定其位置，則能將多個動點轉化為單個的動點問題.

例3 （2016年浙江數學高考理科卷第14題）如圖3，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD體積的最大值是 .

分析：本題可以看成動點D在線段AC上，底面三角形BCD的面積關于D而確定，此時滿足PD=DA的動點P中當PD與底面垂直時體積最大.

由AB=BC=2，∠ABC=120°可得AC=2設AD=x，DP=x，DC=2-x，S△DBC=×（2-x）×2×sin30°=，其中x∈（0，2），VP-BCD=×S△DBC×h=×h≤（）=當且僅當2-x=x，即x=時取等號. 四面體PBCD體積的最大值是.

四、利用動態中的確定條件

許多動態的圖形中滿足了一定的隱含條件，利用其中隱含的確定條件，能將圖形的運動加上限制條件，使問題變得易于解決.

例4 （2016年浙江數學高考理科卷第18題）已知a≥3，函數F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min{p，q}=p，p≤q，q，p>q.

（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；

（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；

（ⅱ）求F（x）在區間[0，6]上的最大值M（a）.

分析：這里二次函數y=x2-2ax+4a-2看似動態，其圖形經過定點（2，2），且其對稱軸滿足x=a≥3，從而能基本確定F（x）的圖象如圖4.

（1）滿足條件的x即為拋物線y=x2-2ax+4a-2與直線y=2x-2的兩交點間之間，易解得x的取值范圍為[2，2a].

（Ⅱ）（ⅰ）設函數f（x）=2|x-1|，g（x）=x2-2ax+4a-2，由圖得所求最小值為這兩個函數的較小值，即比較-a2+4a-2與0的大小，得m（a）=0，3≤a≤2+，-a2+4a-2，a>2+.

（ⅱ）由圖得，要討論2a-2與6的大小，當2a-2≥6時，所求最大值f（0）=2，當2a-2<6時，由于2a>6，故所求最大值為g（6），所以m（a）=34-8a，3≤a<4，2，a≥4.

五、探究臨界位置的情形

解析幾何中的公共點個數問題，有些涉及動態的直線、圓的移動，有些則涉及橢圓等曲線的圓扁即離心率問題，探究關鍵的幾個臨界位置，再根據圖形運動時的公共點個數變化，就能得到問題的解決，其中也蘊含著一般到特殊的策略運用.

例5（2016年浙江數學高考理科卷第19題）如圖5，設橢圓+y2=1（a>1）.

（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a，x表示）；

（Ⅱ）若任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

分析：（Ⅰ）的解略，本題（Ⅱ）中以點A（0，1）為圓心的圓是任意的，只要考慮臨界位置的圓的條件.如圖臨界1是圓與橢圓相切于點（0，-1），滿足條件的橢圓應該是比臨界1更圓，即離心率小于臨界1的離心率.雖然臨界2、臨界3分別是3個、2個公共點，但半徑變化中的圓與橢圓都會有4個交點.

x2+a2y2=a2，x2+（y-1）2=4兩式相減消去x得：（a2-1）y2+2y+3-a2=0

Δ=4-4（a2-1）（3-a2）=0時，解得a=，代入原來方程得到對應y=-1，公共點就一個（0，-1），此時橢圓的離心率e=.要滿足題中條件，只要讓橢圓臨界形狀再圓一些，即所求解為0

上述例舉的化動為定問題解決，體現著將復雜的待解決問題向簡單的較易解決的問題化歸，也是將量、形、關系化為統一，將問題由抽象到具體向較具體的問題轉化，以使其中的動更易把握，這樣的解題策略也應該在日常的教學中加以滲透.