正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用

■湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高二(7)班 鐘 理

正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用

■湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高二(7)班 鐘 理

編者的話:在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,你一定會(huì)遇到許多問題,也需要解決這些問題,而在解決問題的過(guò)程中,如果能深入一些、細(xì)致一些,就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn),把你的發(fā)現(xiàn)寫出來(lái)就是一篇論文。希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié),同時(shí)也希望同學(xué)們把論文寄給我們。電子信箱:xuexifaxian@126.com。

解三角形是高中數(shù)學(xué)的基本點(diǎn)之一,它經(jīng)常與三角函數(shù)、平面向量等綜合考查。在解三角形的過(guò)程中,正弦定理和余弦定理是最常用的兩個(gè)定理,本文就來(lái)談?wù)務(wù)⒂嘞叶ɡ碓诮馊切沃械膽?yīng)用。

例1已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且cosA+cosB=試判斷△ABC的形狀。

解法一:因?yàn)閏osA+cosB=所以由正弦定理得:cosA+cosB=

整理得sinCcosA+sinCcosB=sinA+sinB。

又因?yàn)閟inA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,所以sinCcosA=sinBcosC+sinB。

sinCcosA=sinBcosC+sin(A+C)。

sinCcosA=sinBcosC+sinAcosC+sinCcosA。

故cosC(sinB+sinA)=0。

又因?yàn)锳、B為三角形的內(nèi)角,則sinA＞0,sinB＞0。

所以△ABC為直角三角形。

解法二:由cosA+cosB=及余弦定理可得:

兩邊同乘2abc得:a(b2+c2-a2)+b·(a2+c2-b2)=2ab(a+b)。

整理得:ac2+bc2-a3-b3=a2b+ab2。

故c2(a+b)=a2(a+b)+b2(a+b)。

所以a2+b2=c2,故△ABC為直角三角形。

感悟:判斷三角形的形狀,主要有兩種方法:一是化成三角形內(nèi)角之間的關(guān)系,利用三角函數(shù)的恒等變形來(lái)判斷;二是化成三邊之間的關(guān)系,利用代數(shù)變換,通過(guò)邊的關(guān)系來(lái)判斷。

例2設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且有acosB-bcosA=求tan(A-B)的最大值。

解:在△ABC中,由正弦定理及acosB-bcosA=得:sinAcosB-sinBcosA

整理得sinAcosB=4cosAsinB,所以tanAcotB=4。

所以tanA=4tanB＞0。

感悟:本題先利用余弦定理將已知條件化為三角形內(nèi)角之間的關(guān)系,從而求出tanA=4tanB＞0,再把tan(A-B)化為最后用均值不等式求解。

(責(zé)任編輯 趙 平)