淺談化歸方法在初中數學教學中的應用

冷文躍

摘要：數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，化歸是解決數學問題的一種重要的思想方法，它貫穿于整個數學之中。本文從化歸思想方法的概念、化歸方法的基本原則、常用的化歸方法、初中學生在學習數學過程中形成化歸思想方法一般要經過的階段等方面進行闡述，表明化歸思想方法在學生學習數學中的深遠影響。

關鍵詞：初中數學；思想方法；化歸

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）21-052-2數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，化歸是解決數學問題的一種重要的思想方法，它貫穿于整個數學之中。掌握并學會用化歸的思想方法分析和解決問題，是學習和研究數學的關鍵。化歸思想方法的形成高于知識的理解和掌握，化歸方法應用要與知識教學、學生認知水平相適應，應螺旋式上升，并遵循階梯式的層次結構。

一、何謂化歸思想方法

所謂“化歸”，就是轉化和歸結，即將一個生疏、復雜的問題轉化為熟知，簡單的問題來處理。在解決數學問題時，人們常常將待解決的問題甲，通過某種轉化過程，歸結為一個已經解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過乙問題的解答返回去求得原問題甲的解答，這就是化歸方法的基本思想。中學數學中，化歸方法的應用無處不在，例如：在方程研究中，將簡單的高次方程、分式方程、根式方程化為一元二次方程來求解。所以數學中注重化歸思想的培養(yǎng)對學生學習數學，發(fā)展解題能力都無疑是至關重要。化歸方法的要素：1.化歸對象，即對什么東西進行化歸；2.化歸目標，即化歸到何處去；3.化歸途徑，即如何進行化歸。

為了更好地理解化歸方法的具體含義，《數學史和數學方法論》一書第221頁列舉了兩例加以說明，這里不妨再舉一例：圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

分析：考慮到圓周角與圓心角的一般關系，我們可以分為下列三種情況來證明。

（1）如圖1圓心在圓周角的一邊上：易證得∠APB=12∠AOB；

（2）如圖2圓心在圓周角的內部：可將該問題分割成兩個圖1狀，再用問題1的方法，易證∠APB=∠APS+∠BPS=12∠AOS+12∠BOS=12∠AOB；

（3）如圖3圓心在圓周角的外部：（同問題2）易得∠APB=∠BPS-∠APS=12∠BOS-12∠AOS=12∠AOB。

二、化歸方法的基本原則

（1）熟悉化原則：如果能將待解決的陌生問題化歸為一個比較熟悉的問題，就可以充分調動已知的知識和經驗用于面臨的新問題，從而有利于問題的解決。例如用熟悉的正方形的面積來得到并理解勾股定理。

（2）簡單原則：若能將一個復雜的問題化歸為比較簡單的問題，則問題會更容易得到解決，通過分類、討論、割補、特殊化、換元等具體方法亦可使問題變得更簡單。例如：在方程研究中，將簡單的高次方程、分式方程、根式方程化為一元二次方程來求解。

（3）具體化原則：把比較抽象的問題轉化為比較具體、直觀的問題以便形象地把握問題所及的各個之間的關系，使問題易于解決。例如“曹沖稱象”的故事已為大家熟知。

（4）極端化原則：數學中有許多極端情況，例如，點是圓的半徑為0的極端情況，切線是割線的極端情況等等。

三、常用的化歸方法

1.架設化歸橋梁

架設化歸橋梁就是在問題的連結點之間建立通道，創(chuàng)造條件達到化歸的目的，其形式有：選取過渡元素，添置輔助線（輔助圖形）建立引理或預備定理等，橋梁架設的關鍵在于合理、恰當，能起引渡作用。

例1：在四邊形ABCD中，AB∥CD，BC=b，AB=AC=AD=a，求BD的長。

解：以A為圓心，a為半徑畫圓，由條件知B、C、D三點共⊙A，延長BA交于⊙A點E

連結ED，∵DC∥AB，∴DE=BC故DE=BC=b

在△BDEK中，∵BE是⊙A直徑，

∴∠BDE=90°，由購股定理得BD=4a2-b2。

若將思路固死在直線形內，則問題很難解決，此題中添作了輔助圓，從而提供了新條件使問題化歸到直角三角形中得到解決。

2.轉化思維角度

某些問題的解決按常規(guī)思維難以奏效時，考慮從另一角度來研究，會產生“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的效果。思維角度的轉化主要包括：代數→←三角、幾何；數→←形；正→←反；動→←靜；特殊→←一般；抽象→←具體。轉化關鍵是：尋找轉化契機，創(chuàng)造轉化條件。“函數與方程”的轉化是一種重要的數學思想，用它解題的思路是運用運動、變化、聯系、對應的觀點去分析數學問題。它以其奠基性、工具性、實用性等特征而成為解決問題的兩把“鑰匙”，應予重視。

如，在講二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸的位置關系時，如果要通過畫圖來判斷的話，其一畫圖要多么的精確，其二要浪費多少時間。但是如果把其轉化為一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況就簡單了，只要運算Δ即可。當Δ>0時，則二次函數圖像與x軸有兩個交點；當Δ=0時，則二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸有一個交點；當Δ<0時，則二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸沒有交點。通過這樣的轉化學生很容易的就能接受。

3.分解與組合

所謂分解就是把一個“復雜的大問題”分解為一組“簡單的小問題”來處理的解題策略。

例如：k為何值時，關于二次方程2（m+1）x2-4mx+3（m-1）=0至少有一個正根？

簡析：至少有一個正根情況較為復雜，可以分為三種簡單情況：（1）有兩個正根；（2）有一個正根和一個零根；（3）有一個正根和一個負根；這三種情況解決后，綜合它們結果，即得原問題的解。

所謂組合是相對分解而言，我們在考慮問題時，應注意整體結構，不獨立地看問題，常常將各個局部因素合二為一，從而使問題順利，簡單地解決。

4.整體分析化歸

將一個式子視為一個整體，從而給問題帶來轉機，可獲得奇妙的整體效應，整體分析主要包括：整體代入和整體處理，其關鍵在于產生或尋找能給問題帶來轉機的整體，即換元法解決問題，顯得簡潔、明快，這就是整體代入所產生的效應。

例：求函數y=-（x-2）2+3|x-2|+5的最大值。

簡析：此函數的形式看上式比較復雜，若把絕對值符號去掉，則必須分類討論。但從整體上看與二次函數很相似，為此把（x-2）2看成|x-2|2，即原式可化為y=-|x-2|2+3|x-2|+5

令t=|x—2|，當t=32時，函數y有最大值=294，

即x=72或12時，函數y取最大值=294。

換元法即整體分析化歸，在初中階段是一種較常的數學方法，換元的作用是將復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化。

5.實際問題轉化為數學模型

例如：一水壩橫斷面為等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度為1∶3，破面AB的水平寬度為33，上底寬AD為4米，求坡角B壩高AE和壩底寬BC各是多少米？

分析：將實際問題轉化為數學問題，建立數學模型構造直角三角形問題。就是解決直角三角形問題。

四、初中學生在學習數學過程中形成化歸思想方法一般經過的四個階段

1.滲透孕育期。這一階段可以通過有理數的大小比較、有理數的四則運算、整式加減、一元一次方程的解法教學來反復孕育化歸思想方法，使學生初步了解和體會到化歸思想方法的意義和價值。

2.領悟形成期。這一階段可以通過“二元一次方程組”、“一元一次不等式（組）”、“整式乘除”等內容的教學，從正面向學生介紹化歸目標、確定化歸方法，并通過引典故、舉范例，深化學生對化歸思想方法的認識，在此基礎上應用它去探索分析問題，使學生初步形成化歸思想方法的雛形。

3.應用發(fā)展期。這一階段可以通過引導學生參與知識發(fā)生過程，進一步揭示、概括、提煉化歸思想方法，更高層次地領悟化歸思想方法的涵義及其價值。在宏觀上培養(yǎng)學生應用化歸思想方法增強知識遷移的能力；在微觀上，強化化歸技能技巧的訓練，使學生現有知識形態(tài)的化歸思想方法逐漸內化為意識形態(tài)的化歸思想方法。

4.鞏固深化期。這一階段可以通過“函數”、“圓”等內容的教學，特別在解幾何問題時，引導學生把解決的幾何問題作為化歸對象，把基本圖形作為化歸目標，將復雜圖形化歸為基本圖形等，通過不斷地在新情景下應用化歸方法，可使學生進一步鞏固、深化對化歸思想方法的理解，從而有意識嘗試用數學思想方法指導自己的思維活動，形成獨立探索問題的能力。

在數學教學中，培養(yǎng)學生運用化歸原則來解題，不僅能起到鞏固舊知識，促進理解掌握新知識的作用，而且對提高學生解決問題的策略水平有著深遠的影響。學習數學的最大障礙是自信力的缺乏，而掌握化歸思想又將有助于學生自信心的形成與鞏固，從而在不斷的成功中追求新的更大的成功。