高中數(shù)學概念學習的認知障礙探究

梁維高

數(shù)學概念是人類對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的簡明、概括的反映，是用數(shù)學語言揭示事物的共同屬性及本質屬性的思維形式。認知心理學把數(shù)學概念定義為“符號所代表的具有標準共同屬性的對象、事物、情境或性質”，這里的符號主要指具有一般意義的詞。例如，看到“圓”這個詞，人們首先從生活中想到具體的圓的表象，然后從中抽象出圓的概念。世界上并不存在這種離開具體圓的抽象圓，這時“圓”這個詞就代表了一個概念。概念通常包括四個方面：概念的名稱、定義、例子和屬性。以概念“圓”為例，詞“圓”是概念的名稱；“到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓”是概念的定義；符合定義特征的具體圖形都是“圓”的例子，稱為正例，否則叫反例；“圓”的屬性有：是平面圖形、封閉的、存在一個圓心、圓心到圓上各點的距離為定長（半徑）等。

一、概念的特征

從概念學習心理角度看，概念學習具有以下幾個方面的特征：

1.概念發(fā)展的抽象性。數(shù)學概念的形成有兩種基本抽象方式：一般化抽象，即減少概念的限制，使其適用于更規(guī)范的情景；如圓、直線、平面等數(shù)學概念。分離式抽象，即通過將概念與背景相分離而達到抽象的目的。數(shù)學中的大多數(shù)概念都是一般化抽象的結果，分離式抽象一般只出現(xiàn)在一些由定義給出的概念中。

2.概念表征的多元性。所謂表征是用某一種形式，將事物或想法重新表現(xiàn)出來，以達到交流的目的。以函數(shù)表征為例，在韜爾的研究中，函數(shù)概念在兩個維度上具有“豐富的聯(lián)系”：其一是表示方式，其二是表示水平。首先，函數(shù)是一個多面的對象，表現(xiàn)方式包括作為形式概念的函數(shù)符號（ y=f（x）），作為通俗概念的函數(shù)機；既有代數(shù)的特征（函數(shù)解析式），數(shù)的特征（函數(shù)的列表表示），又有幾何特征（函數(shù)圖像）。其次，從認知水平上看，函數(shù)概念還涉及前程序、程序、過程、對象和過程性概念五個層次。

3.概念理解的層次性。加涅在20世紀60年代就提出學習階層的概念，他指出學習活動有其合理的次序存在，較簡單的學習為較復雜的學習預備條件。數(shù)學概念、原理原則及運算技巧等的學習均有一定的先后順序及學習階層順序。斯根普把直接由感知得到的概念稱為初級概念，由初級概念再抽象之后得到的概念稱為二級概念，他強調學習者在學習新概念之前，必先學習這概念用到的先前概念。

4.概念聯(lián)結的系統(tǒng)性。數(shù)學概念具有廣泛的聯(lián)系，既包括概念與其背景的聯(lián)系，又包括概念之間的聯(lián)系；既有橫向的聯(lián)系，又有縱向的聯(lián)系。對數(shù)學概念系統(tǒng)的研究主要涉及三個方面，一是核心概念的析取。在一個概念系統(tǒng)中，有一些概念處于核心位置，其他概念或者由它生成，或者都與它有密切的聯(lián)系。二是研究相關概念的形成、組織和表征，使心理發(fā)生學成為很有意義的研究途徑。三是概念的系統(tǒng)程度是評價學生概念理解的一條重要指標。

二、概念的同化

在教學中利用學生已有的知識經驗，以定義方式直接提出概念，并揭露其本質屬性，由學生主動地與原認知結構中的有關概念相聯(lián)系學習和掌握概念的方式，叫做概念同化。高中數(shù)學概念多建立在小學和初中概念基礎之上，采用螺旋上升方式進行深化表征。概念同化以學生的間接經驗為基礎，以數(shù)學語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因而在教學方法上多直接呈現(xiàn)定義，與奧蘇貝爾的“有意義的接受學習”方法基本一致。由于數(shù)學概念具有多級抽象的特點，學生學習新概念在很大程度上依賴舊概念及原有的認知結構，因此概念同化的學習方式在高中數(shù)學概念學習中更適用。

三、數(shù)學概念學習的認知障礙

1.在感知階段的主要信息解讀障礙：數(shù)學語言在識別、理解和轉換上存在障礙。這些障礙導致學生不能很好地理解概念的定義、術語和符號，因而不能很好地對信息編碼。

2.在理解階段的主要障礙：（1）對數(shù)學概念本質屬性模糊不清，對同一概念的不同表達形式缺乏概括和理解，使原認知概念無法同化新知識；（2）對鄰近概念辨別不清，不明確該概念與上概念、下概念的聯(lián)系和區(qū)別，新知識不能整合到原有知識結構中。

3.在應用階段的主要障礙：（1）對同一概念的不同表達方式不能靈活轉換；（2）在概念中不能全面滲透數(shù)學思想和方法。

四、突破高中生數(shù)學概念學習認知障礙的策略

1.克服學生數(shù)學語言障礙對策：創(chuàng)設數(shù)學情境，強化學生在數(shù)學概念中在文字語言、圖形語言與符號語言之間靈活轉換，重視關鍵詞語及符號的講述，滲透集合和邏輯思想并弄清對象間的聯(lián)系。

2.運用變式教學突出概念的本質屬性，引導學生準確理解概念：數(shù)學概念是抽象的，任何一個具體材料是數(shù)學概念的特例而不是數(shù)學概念的全部，如果沒有對具體材料進行變形，導致學生把數(shù)學概念集中在事物的偶然的、表面的特征上。因此為了使學生正確理解和運用概念，必須使學生具有各種不同的直觀經驗，尤其教師的講解不能限定在教科書的標準圖形和符號上，而要采用各種不同的形式，變換它的位置、大小及不同符號表示，舉反例、做變式等。教師還應加強對概念的進一步分析，講清內涵與外延，溝通知識的內在關系，分清舊知識的區(qū)別與聯(lián)系。如分析異面直線的概念，讓學生理解“不同在任何一個平面的兩條直線”與“在兩個平面的兩條直線”，對定義逐字逐句加以推敲。讓學生理解概念之間的內在聯(lián)系，新概念要納入舊概念體系，必須對新舊概念進行比對，及時溝通概念間的聯(lián)系，抓好對同類概念的比較、鄰近概念的比較和同一概念不同表達方式的比較。

3.培養(yǎng)學生的概括能力。高中生有較強的認知能力和高中數(shù)學認知規(guī)律，適當啟發(fā)點撥，指導學生從個別情形入手，分步概括，力求抽象出一般原則，達到最終求解的目的。

4.讓學生建立良好的數(shù)學認知結構。教師要熟悉學生原有認知結構，并通過適當?shù)氖侄螏椭鷮W生建構缺少的觀念，明晰模糊的概念，強化其穩(wěn)定性。創(chuàng)設良好的問題情境，讓學生明白將要學到什么知識或者具備什么能力，從而主動參與學習，制造認知沖突，打破學生的心理平衡，激發(fā)學習興趣，使學生積極進入新知識學習，主動構建數(shù)學認知結構。突出數(shù)學思想方法教學，如配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法、數(shù)學歸納法等數(shù)學方法；實驗觀察、猜想、類比、推理、分析、綜合、抽象等數(shù)學思想。注意整體性教學：注意知識組塊的教學，把新知識納入原知識模塊中整體考慮，使新知識和原有知識相聯(lián)系，并把有聯(lián)系的知識重新組成一個大的知識組塊。