嘗試運(yùn)用v—t圖像破解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題

陳文月

中圖分類號(hào)：G720 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2017）03-0002-03

在高中物理學(xué)習(xí)階段，面對茫茫“題海”中千“題”百怪、令人茫然不知所措的難題，不少人也許會(huì)產(chǎn)生頓挫之感。僅就運(yùn)動(dòng)學(xué)模塊而言，這類問題也隨處可見。不過，一旦熟練掌握并能夠巧用v-t圖像，其中的一些問題將會(huì)柳暗花明、迎刃而解，似乎算不上什么難題。

一、用v-t圖像求解最大速度

例1. 一輛從車站始發(fā)的汽車，做勻加速運(yùn)動(dòng)，走了12s時(shí)，司機(jī)發(fā)現(xiàn)還有乘客沒上來，于是立即做勻減速運(yùn)動(dòng)至停車，總共歷時(shí)20s，行進(jìn)了50m，求：（1）汽車的最大速度是多少？（2）開始減速前，該車已經(jīng)走過了多少路程？

此題只告訴了勻加速、勻減速的時(shí)間及最大的位移，但并沒有告知加速度的具體情況，顯然不能用Vt=Vo+at來簡單求證。但是，既然提供了“由車站始發(fā)”“勻加速”“勻減速”及最終“停車” 的“時(shí)間”“位移”等條件，我們就可以通過v-t圖像來加以解決，即：該汽車從“0”速度開始，在勻加速至12s時(shí)，達(dá)到其最大速度（Vm），然后作勻減速運(yùn)動(dòng)，至第20s時(shí)，其速度減至最低速度（0），而其速度變化圖像與t軸圍成的三角形面積（S），則是該車行進(jìn)的距離（X），該三角形的頂點(diǎn)（h）即為該車的最大速度（Vm）。據(jù)此，繪出v-t圖如下：

這樣，就用簡潔、明了的方式求得：該汽車的最大速度達(dá)到每秒5米，減速之時(shí)已經(jīng)行駛了30米。

二、通過v-t圖像比較時(shí)間長短

例2. 如圖2所示，ABC和DE是兩個(gè)高度相等的光滑斜面，ABC由傾角不同的兩部分組成，且AB+BC=DE，兩個(gè)相同的小球a、b分別從A點(diǎn)和D點(diǎn)沿兩斜面由靜止同時(shí)滑下，不計(jì)轉(zhuǎn)折處的能量損失，則滑到底部的先后次序是（ ）。

A.a球先到 B.b球先到

C.兩球同時(shí)到達(dá) D.無法判斷

判斷此題，切不可憑感覺用事。從題中所給的條件可知，兩球質(zhì)量相等，所處高度也相等，由此可直接得出的第一個(gè)推論是：兩球的重力勢能相等。而既然兩球的重力勢能相等，那么，按照機(jī)械能守恒定律，兩球在滑到底部時(shí)，所做功相等，各自的動(dòng)能也相等。于兩球質(zhì)量相同，所以，可以得到的第二個(gè)推論是：兩球在滑動(dòng)到底部時(shí)的末速度（Vt）也就相等。另外，既然AB+BC=DE，所以，兩球在下滑過程中的位移相同。當(dāng)然，兩球都是從靜止?fàn)顟B(tài)釋放的，所以，各自的初速度均為Vo=0。明確了以上幾點(diǎn)，就可以畫出兩球運(yùn)動(dòng)的如下v-t圖像：

此v-t圖像根據(jù)題意（大致）表明，一開始（即AB段時(shí)），a球的加速度（即直線斜率）大于b，但到后來（即BC段時(shí)），其加速度（直線斜率）小于b；同時(shí)，既然根據(jù)題意，AB+BC=DE，那么，圖像oat1所圍的面積要和obt2所圍的面積相等。從滿足這兩個(gè)條件的v-t圖像中不難直觀看出，a球下降所用的時(shí)間（t1）必然要比b球所用的時(shí)間（t2）短，故，答案為A，a球先到。

三、運(yùn)用v-t圖像判斷運(yùn)動(dòng)方式

例3.由甲地從靜止出發(fā)，沿平直公路駛向乙地的一輛汽車，先以加速度a1做勻加速運(yùn)動(dòng)，最后以加速度a2做勻減速運(yùn)動(dòng)，中間可能有一段勻速運(yùn)動(dòng)過程，也可能沒有勻速運(yùn)動(dòng)過程，到乙地恰好停下。已知甲、乙兩地相距為s。試問：要使汽車從甲地到乙地所用的時(shí)間最短，汽車應(yīng)做怎樣的運(yùn)動(dòng)？

此題提供的信息要點(diǎn)有二：1.不論汽車采用什么樣的運(yùn)動(dòng)方式，甲乙兩地的距離是個(gè)定值，即汽車的位移為S；2.汽車的初速度和末速度均為0，而且不論采用什么運(yùn)動(dòng)方式，其最初和最后兩段距離的運(yùn)動(dòng)方式均有加速度，只不過最初為勻加速（a1），最后為勻減速（a2），兩者也不變。因此，可以直接按照滿足此條件的如下v-t圖像對各種運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行比較，看哪一種運(yùn)動(dòng)方式所用時(shí)間最短。時(shí)間最短者即為應(yīng)當(dāng)采用的運(yùn)動(dòng)方式。

如圖4所示，設(shè)OABC所圍成的圖像表示甲乙兩地的距離S，根據(jù)題意，不論是采用先加速接著馬上減速的運(yùn)動(dòng)方式（如OA1線段與A1C1線段所示運(yùn)動(dòng)軌跡），還是先加速，然后勻速，接著再減速的運(yùn)動(dòng)方式（如OA2、A2B2與B2C2線段所示運(yùn)動(dòng)軌跡），△OA1C1的面積、梯形OA2B2C2 的面積，必須與梯形OABC的面積相等，而且，既然各種運(yùn)動(dòng)方式最初的加速度（a1）和最后的加速度（a2）均保持不變，這就意味著A1C1線段、B2C2線段均與BC線段保持平衡（斜率不變）。由此可以直觀的看出，采用“先加速接著馬上減速”的運(yùn)動(dòng)方式所用時(shí)間（t1）比先“加速然后勻速接著再減速”的運(yùn)動(dòng)方式所用時(shí)間（t2）要短，應(yīng)當(dāng)采用前者。

四、借助v-t圖像計(jì)算上升高度

例4. 一質(zhì)量為m = 40kg的小孩在電梯內(nèi)的體重計(jì)上，電梯從t=0時(shí)刻由靜止開始上升，在0到6s內(nèi)，體重計(jì)示數(shù)F的變化如圖5所示。

試問：在這段時(shí)間內(nèi)電梯上升的高度是多少？取重力加速度g=10m/s2。

解答此題，首先應(yīng)當(dāng)明確的是，小孩的重力mg=400=400N；當(dāng)其乘坐電梯上升時(shí)，如果電梯的上升是勻速的，體重計(jì)的示數(shù)就保持不變，應(yīng)為400N。但當(dāng)電梯加速時(shí)，由于超重，體重計(jì)的示數(shù)會(huì)顯示高于400N，相反，當(dāng)減速時(shí)，體重計(jì)的示數(shù)則會(huì)顯示低于400N，而且，只要是進(jìn)行勻加速或勻減速，該增加或減少的數(shù)值也會(huì)保持恒定。據(jù)此觀察體重計(jì)示數(shù)F的變化圖可知，第一，在最初的2s內(nèi)，電梯是由靜止開始進(jìn)行勻加速上升的（示數(shù)計(jì)讀數(shù)高于400N而且恒定）；第二，在隨后的第2至第5s內(nèi)，電梯是勻速上升的（示數(shù)讀數(shù)等于400N）；第三，在最后1s內(nèi)（第6秒內(nèi)），電梯開始進(jìn)行勻減速（上升）直到停止（即電梯上升的最高點(diǎn)）。

問題是，電梯及小孩上升的加速度（a1）、勻速上升的速度（vt）以及勻減速時(shí)的加速度（a2）究竟是多少呢？

根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)合=ma1，即，440-400=401，由此得知，電梯勻加速上升的加速度a1=1m/s2。同理，電梯勻減速上升時(shí)，320-400=40€譨2，故，勻減速上升時(shí)的加速度a2= -2m/s2。根據(jù)Vt=Vo+at可知，在電梯上升的第2至第5s內(nèi)，其勻速上升的速度（即第2s末的速度）Vt=0+（1）=2m/s。

將上述結(jié)論轉(zhuǎn)換為電梯及小孩的v-t運(yùn)動(dòng)圖像，則有下圖6：

五、小結(jié)

綜上可見，用v-t圖像求解運(yùn)動(dòng)學(xué)模塊的有關(guān)問題，有時(shí)可以簡化解題的過程，化繁為簡，具有直觀、形象、簡明的特點(diǎn)。其實(shí)質(zhì)是把復(fù)雜的物理量之間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，核心是通過速度圖線與時(shí)間t軸圍成的面積來加以比較、計(jì)算或分析。因此，運(yùn)用這一方法，首先應(yīng)當(dāng)認(rèn)真審題，切不可遺漏條件。除了要注意把握題目明確給定的條件（如時(shí)間、質(zhì)量、位移、長度，初速度、末速度狀態(tài)）外，還要仔細(xì)發(fā)掘題目中隱含的問題。比如，例4中的加速度a1、a2及勻速上升的速度，例2中a、b兩球的末速度等。其次，在將物理量轉(zhuǎn)化為V-t圖像時(shí)，必須時(shí)刻牢記，該圖像圍成的幾何面積實(shí)際上表示的只是運(yùn)動(dòng)學(xué)上的位移或者距離，必須對幾何學(xué)中的基本公式、定理（如三角形的面積、梯形的面積公式計(jì)算等）熟爛于胸。再次，在v-t圖轉(zhuǎn)化中，尤其要注意速度線段的曲與直、傾斜度、等高線、起始點(diǎn)。只有勻速或勻加速運(yùn)動(dòng)才能轉(zhuǎn)化為直線，只有在具有加速度的運(yùn)動(dòng)中，該直線才有斜率，而且加速度越大，斜率越大。而v-t圖像中的等高線，則意味著速度相等，當(dāng)然，速度線段與t軸相交的地方，也意味著速度相等（0）。最后，v-t圖像的運(yùn)用和物理學(xué)的相關(guān)內(nèi)容緊密相關(guān)，如果物理學(xué)的基礎(chǔ)不扎實(shí)，就勢必嚴(yán)重影響到v-t圖像法在運(yùn)動(dòng)學(xué)問題上的科學(xué)運(yùn)用。比如，如果對動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定理認(rèn)識(shí)模糊，就不可能對例2問題進(jìn)行v-t圖的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化；如果對牛頓第二定律沒有真正領(lǐng)會(huì)，就不可能對例4問題的加速度用精準(zhǔn)的斜線進(jìn)行表示。