多解多變 提升能力

王友峰

【課本原題】（蘇科版《數學》教科書八年級上冊第132頁練習題第2題）已知點A（2，y1）、B（1，y2）在反比例函數y=[kx]（k<0）的圖像上，比較y1、y2的大小.

【多解分析】方法1（計算法）：∵點A（2，y1）、B（1，y2）在反比例函數y=[kx]（k<0）的圖像上，∴y1=[k2]，y2=k.又k<0，∴y1>y2.

方法2（性質法）：∵k<0，∴反比例函數圖像在第二、四象限內，且在各自的圖像內，y隨x的增大而增大，A、B兩點在同一象限，2>1，∴y1>y2.

方法3（圖像法）：畫出函數y=[kx]的圖像（草圖略），標出A、B兩點，由圖像可知y1>y2.

若將兩個點的橫坐標用字母來表示，則得到蘇科版《數學》教科書八年級上冊第145頁復習題“探索研究”第12題：已知點P（x1，y1）、Q（x2，y2）在反比例函數y=[kx]（k<0）的圖像上，且x1

【演變過程】課本原練習題已知了自變量的具體數值，直接通過計算或增減性或畫圖就能判斷y1、y2的大小，而復習題則需要對P、Q兩點的位置分類討論.改變題目的條件或結論，變式拓展，就可以得到許多中考題.

【考題在線】

變式1：（2016·甘肅天水）反比例函數y=[-1x]的圖像上有兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1<0

A.y1

C.y1>y2>0 D.y1>0>y2

【分析解答】本題給出了具體的反比例函數解析式和圖像上兩個不在同一象限的點的坐標，比較兩個反比例函數值的大小.解題關鍵是畫出圖像，數形結合，直接觀察獲解.如圖1所示，觀察圖像發現若x1<00>y2，故選D.

【解后反思】本題是選擇題，因此也可采用特值法，如令x1=-1，x2=1，可求得y1=1，y2=-1，由1>0>-1得到y1>0>y2.

變式2：（2016·四川成都）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點都在反比例函數y=[2x]的圖像上，且x1

【分析解答】本題給出了具體的反比例函數的解析式和圖像上兩個在同一象限的點的坐標，比較兩個反比例函數值的大小.可以采用解決課本練習題的三種方法求解，請同學們自己試一試，答案是y1>y2.

變式3：（2016·福建龍巖）反比例函數y=[-3x]的圖像上有P1（x1，-2），P2（x2，-3）兩點，則x1與x2的大小關系是（ ）.

A.x1>x2 B.x1=x2

C.x1

【分析解答】本題給出了具體的反比例函數解析式和圖像上兩個在同一象限的點的坐標，由反比例函數值大小來比較自變量值的大小.也可采用解決課本練習題的三種方法求解，答案選A.

變式4：（2016·新疆生產建設兵團）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函數y=[kx]（k≠0）圖像上的兩個點，當x1y2，那么一次函數y=kx-k的圖像不經過（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【分析解答】本題給出了反比例函數的解析式和圖像上兩個在同一象限的點的坐標，考查由點的橫坐標與縱坐標的大小關系來確定反比例函數的增減性，得出比例系數k的性質符號，進而判斷一次函數圖像經過的象限.由A、B兩點坐標，當x1y2，可知當x<0時，y隨x的增大而減小，故k>0，所以

-k<0，所以一次函數y=kx-k經過一、三、四象限，不經過第二象限，故選B.

變式5：（2015·江蘇泰州）點（a-1，y1）、（a+1，y2）在反比例函數y=[kx]（k>0）的圖像上，若y1

【分析解答】本題給出了反比例函數的解析式和圖像上兩個橫坐標含參數字母a的點坐標，要求由橫坐標與縱坐標的大小關系來確定參數字母a的取值范圍.∵k>0，∴在圖像的每一支上，y隨x的增大而減小.但由于參數a的變化，兩個點可能在雙曲線的同一支上，也可能在雙曲線的兩支上，因此需要分兩種情況進行討論求解.答案是-1

【解后反思】本題是由課本練習題和復習題綜合而成的，它有以下三個特點：一是將原題的條件、結論交換，變為根據函數值的大小關系判斷自變量值的大小關系問題，考查了逆向思維能力；二是兩點的橫坐標a-1、a+1隱含了大小關系，考查將隱性信息轉化為顯性條件的能力；三是在解題時要結合圖像，用分類方法進行探究與嘗試，既考查了分類思想、數形結合思想，也考查了操作探究能力.

變式6：（2016·天津）若點A（-5，y1），B

（-3，y2）、C（2，y3）在反比例函數y=[3x]的圖像上，則y1、y2、y3的大小關系是（ ）.

A.y1

C.y3

【分析解答】本題是在原題的基礎上將比例系數k變為常數，將圖像上的點增加到3個，且3個點不都在同一象限內，解決這類問題上述三種方法仍適用.

方法1（計算法）：把x=-5、-3、2分別代入得y1=-0.6，y2=-1，y3=1.5，所以y3>y1>y2.

方法2（性質法）：∵k=3>0，∴反比例函數圖像在第一、三象限內，且在各個象限內，y隨x的增大而減小，A、B兩點在同一象限，∴y1>y2；又點C在第一象限，∴y3>y1>y2.

方法3（圖像法）：畫出函數y=[3x]的圖像（草圖，圖略），按照要求標出A、B、C三點，由圖像可知y3>y1>y2.

【解后反思】根據反比例函數的增減性確定圖像上的點的縱坐標值的大小，要分同一象限和不同象限內的點進行比較，同一象限內的點可根據增減性進行比較，不同象限的點可根據縱坐標的正負性進行比較.上述三種解法各有特色，要靈活選用，也可相互驗證.

【總結歸納】縱觀上述試題，它們都可看成是由課本中的一道練習題和復習題，通過變式、綜合、拓展而成的，這就啟發我們在復習中不要舍本逐末，要在掌握課本基礎知識、基本技能和方法的基礎上，將課本中的例習題進行改編、演變、拓展等“再創造”，從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索“變”的規律，在例習題的探索中潛移默化地學會發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，這樣就能以一當十，進而有效地提高復習效率.

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校）