以一次函數圖象為載體的規律探究題

李艷秋

以直線為載體求解點的坐標、線段的長度等的規律探究題，需充分發揮數形結合思想，從圖形結構的形成過程分析，從問題的簡單情形或特殊情況入手，探究發現、歸納猜想，方能用代數式描述出其中隱含的數學規律.

一、點的坐標規律

例1（2020·湖北·天門）如圖1，已知直線a：y = x，直線b：y [=-12]x和點P（1，0），過點P作y軸的平行線交直線a于點P1，過點P1作x軸的平行線交直線b于點P2，過點P2作y軸的平行線交直線a于點P3，過點P3作x軸的平行線交直線b于點P4，……按此作法進行下去，則點P2 020的橫坐標為 .

解析：觀察圖象可知，當k = 4n + 1（n = 0，1，2…）時，[Pk]在第一象限且橫坐標為正;當k = 4n + 2時，[Pk]在第二象限且橫坐標為負;當k = 4n + 3時，[Pk]在第三象限且橫坐標為負;當k = 4n時，[Pk]在第四象限且橫坐標為正. 由2020 ÷ 4 = 505，可知點P2020的橫坐標為正.

∵點P（1，0），PP1[?]y軸且P1在直線y = x上，∴P1（1，1）.

∵P1P2[?]x軸，∴P2的縱坐標與P1的縱坐標相等且為1.

∵P2在直線y [=-12]x上，∴1[=-12]x，∴x = - 2，

∴P2（ - 2，1），即P2的橫坐標為 - 21.

同理，P3的橫坐標為 - 21，

P4的橫坐標為22，P5的橫坐標為22，

P6的橫坐標為 - 23，P7的橫坐標為 - 23，

P8的橫坐標為24，……

由此猜想：當n為偶數時，Pn的橫坐標為[（-1）12n][212n]，

∴P2020的橫坐標為21010. 故應填21010.

二、線段的長度規律

例2（2020·遼寧·錦州）如圖2，過直線l：y [=3x]上的點A1作A1B1⊥l，交x軸于點B1，過點B1作B1A2⊥x軸，交直線l于點A2;過點A2作A2B2⊥l，交x軸于點B2，過點B2作B2A3⊥x軸，交直線l于點A3;……按照此方法繼續下去，若OB1 = 1，則線段AnAn - 1的長為 . （結果用含正整數n的代數式表示）

解析：由直線l：y [=3]x，可求得直線l與x軸的夾角為60°.

∵OB1 = 1，A1B1⊥l，∴OA1[=12]OB1[=12]，

∴OA2 = 2OB1 = 2，∴A2A1 = 2 [- 12=32] = 3 × 2 -1.

∵OA2 = 2， ∴OB2 = 2OA2 = 4，∴OA3 = 2OB2 = 8，

∴A3A2 = 8 - 2 = 6 = 3 × 21，∴OB3 = 2OA3 = 16，

∴OA4 = 2OB3 = 32，∴A4A3 = OA4 - OA3 = 32 - 8 = 24 = 3 × 23，…

由此猜想AnAn - 1 = 3 × 22n - 5.

三、直線與坐標軸圍成三角形的面積規律

例3（2020·四川·達州）已知k為正整數，無論k取何值，直線l1：y = kx + k + 1與直線l2：y = （k + 1）x + k + 2都交于一個固定的點，這個點的坐標是 ;記直線l1和l2與x軸圍成的三角形面積為Sk，則S1 = ，S1 + S2 + S3 + … + S100的值為 .

解析：將直線l1和直線l2的解析式分別變形可得：

y = kx + k + 1 = k（x + 1） + 1，y = （k + 1）x + k + 2 = k（x + 1） + （x + 1） + 1 = （k + 1）（x + 1） + 1，

當x = - 1時，y = 1，所以無論k取何值，直線l1與l2都經過定點（ - 1，1）.

∵直線l1：y = kx + k + 1與x軸的交點為A [-k+1k，0]，

直線l2：y = （k + 1）x + k + 2與x軸的交點為B [-k+2k+1，0]，

∴以線段AB為底、定點（- 1，1）的縱坐標為高，Sk[ =12×-k+2k+1+k+1k ] × 1 [=12k（k+1）]，

∵k為正整數，∴當k = 1時，S1 [=12×11×2=14];

∴S1 + S2 + S3 + … + S100 = [12] [×] [11×2+12×3+…+1100×101]

[=12 × ][1-12+12-13+…+1100-1101][ =50101].

故應填：（ - 1，1），[12k（k+1）]，[50101].

（2020·遼寧·鞍山）如圖3，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，A4，…在x軸正半軸上，點B1，B2，B3，…在直線y [=33]x（x ≥ 0）上，若A1（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，則線段B2019B2020的長度為（ ）.

A. 22021[3] B. 22020[3] C. 22019[3] D. 22018[3]

答案：D