基于 HPM視角下函數概念
——“集合關系說”的教學設計

鄭文晶

（呼倫貝爾學院 內蒙古 海拉爾 021008）

函數概念是被廣泛應用的數學概念之一，其重要意義遠遠超出了數學范圍，在數學中，函數處于基礎的核心地位，函數不僅是貫穿于中學數學的一條主線，它也是數學分析這門課程研究的對象。在數學分析第一章應用“集合對應說”給出了函數概念，介紹多元函數時，用集合論的語言較嚴格地給出函數概念的另一種形式，學生們產生疑問，為什么又要重新定義函數的概念？本文從HPM（數學史與數學教學關系的國際研究組織）視角下，以函數概念課堂教學為例，從數學知識、數學發展史、學生對數學知識的認知，三個維度出發，依據數學教學中運用數學史的方式運用于教學，讓學生在已有的認知基礎上，完成概念的再認識，在HPM視角下,通過預見和解釋學生的學習困難，為學生尋找認知的固著點。

1.對學生函數概念的認知調查

對某高校的大一本科74名學生，在按照函數概念常規的教學順序，在完成函數概念教學后，進行了問卷及部分學生進行了訪談。在問卷中針對函數概念提出了四道問題：

1.1 回憶你所學的函數概念，用自己的理解描述什么是函數（學生的回答見表1） ；

1.2 你認為大學所學的函數概念最本質的特征是什么（學生的回答見表2）；

1.3 談談你對大學所學的函數概念的認識，并說出初中函數概念、高中函數概念有什么不同（學生的回答見表3）；

1.4 你知道函數概念的發展史嗎（學生的回答見表4）；

學生做了如下回答:

從學生問卷和訪談的情況來看，在實際教學中部分教師對初、高中、大學函數概念的銜接缺乏充分的認識，不能多角度看待函數概念，不能幫助學生實現初、高中，大學函數概念的自然過度，缺少對函數概念的整體把握。

2.函數概念的演進史

函數概念是隨著數學的發展而不斷深化的，函數概念至17世紀下半葉到現在歷經300多年的歷史變遷，一次一次被擴展和嚴格化，其演變過程可分為以下幾個階段：

表1

表2

表3

表4

2.1函數概念的萌芽

在16世紀由于對物體運動的研究，人們開始轉入對各種變化過程和各種變化著的量之間依賴關系的研究，在數學中產生了變量與函數概念，特別是進入17世紀以后，笛卡爾引入了直角坐標與變量，使數學發生了具大變革，但當時笛卡爾也沒有使用變量這一術語，而稱為“未知和未定的量”，變量作為數學名詞是約翰·貝努利（JohanBernoulli，1667-1748）首先應用的，函數（function）這一名詞是德國哲學家兼數學家萊布尼茲（Liebniz，1646--1716）首先采用的，在最初萊布尼茲用函數一詞表示變量的冪，其后萊布尼茲還用函數一詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點相關的某些幾何量，這也是最初的函數概念的萌芽。

2.2函數概念——變量依賴說

1718年，約翰·貝努利將x的函數從xn拓廣到用代數符號來表達與 x的所有量。給出函數的定義：“一個變量的函數是由該變量和一些常數以任何方式組成的量。” 貝努利的定義僅僅局限于代數式。

1748年歐拉（L.Euler,1707--1783）在約翰·貝努利的基礎上首次用“解析式”來定義函數：“變量的函數是一個解析表達式，它是這個變量和一些常量以任何方式組成的所謂解析式，它是通過算數運算，三角運算以及指數運算和對數運算連接變量和常量的分子。”歐拉此時，已經明確破了代數的局限。

1755年歐拉又更新了函數的定義：“如果某些變量以這樣一種方式依賴于另一些變量，當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數。”歐拉的第二個定義，與現代函數的定義很接近，在函數的表達上不拘于用解析式來表達，破除了用公式表達函數的局限性，他認為函數不一定用公式來表達，他曾把畫在坐標系上的曲線也叫做函數。他認為，函數是隨意畫出的一條曲線。

2.3函數概念——變量對應說

隨著數學的不斷發展，數學家們又把數學概念推到了一個新的層次。為了突破變量依賴說的限制，1823年，法國數學家柯西(Cauchy,1789—1857)給函數如下定義：“對于x的每一個值，如果y有完全確定的值與之對應，則y叫x的函數。”這個定義把函數概念與曲線、連續、解析式等糾纏不清的關系給予澄清，也避免了“變化”一詞，但是對于函數概念的本質——對應思想強調不夠。此后黎曼（Riemann，1826-1866）和狄里克雷（Dirichlet，1805--1859）認識到了這一點，黎曼給出了較精確的定義：“若對于x的每一個值，有完全確定的 y值與之對應，不管建立起這種對應方式如何，都稱y叫x的函數。”這一定義徹底拋棄了解析式的束縛，特別強調和突出函數概念的本質——對應思想，使之具有更加豐富的內涵。

1837年狄里克雷進一步指出：“對于在某一區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫x的函數。”這兩個定義被公認為函數的現代定義。

2.4函數概念——集合對應說

19世紀末20世紀初，把函數看作一種對應的思想已經完成，隨著數學研究方法和研究領域的迅速發展，這種對應的自變量、因變量的取值范圍也不斷地發生變化，如果說前面兩個世紀的人們把更多的注意力投放在函數的解析式上，那么20世紀的數學家開始關注自變量的取值范圍。這不僅因為解決實際問題而提出了問題，更主要是20世紀初，集合論的誕生，徹底地改變了人們的思考方式。德國數學家康托（Cantor.1845--1918）提出的集合論被世人廣泛接受后，用集合的對應關系來表示函數概念漸漸地占據了數學家的思維，通過集合論的概念把函數的對應關系、定義域、值域進一步具體化，那么函數便明確地定義為集合的對應關系：如果對于集合的A中的每一個元素x，都有集合B的一個確定的元素y與之對應，則稱y為x的函數。這個定義突破了狄利克雷古典定義中數集與數集之間對應的限制，使函數外延大大擴張了，同時避免了“自變量”，“因變量”的提法，但這個定義任然有缺陷，因為引用了未加定義的“對應”概念。

2.5 函數概念——集合關系說

“關系說”是“現代函數定義”，19世紀康托建立了集合論，函數概念進入了集合論的范疇，使函數概念純粹地使用集合論語言進行定義，在這種情況下，函數、映射又歸結為一種更為廣泛的概念——關系。

“設集合X與Y，定義X與Y的積集如下：XY={(x,y)∣x∈X,y∈Y},積集 X×Y 中的一個子集R，稱為X與Y的一個關系，若(x,y)∈R，則稱x與y有關系，記為xR(y)；若(x,y)R則稱x與y無關系R，f設x是與y的關系，即f?X×Y如果(x,y) ，(x,z)，必有y=z，那么稱f為X到Y的映射或函數。”這就是現代函數定義”它在形式上回避了“對應”術語，使用的全是集合論語言，一掃原來定義在“對應”的含義存在的模糊性，而使函數概念更為清晰、準確。應用范圍更廣泛了。

3.HPM視角下函數概念的教學設計

HPM視角下函數概念的教學設計，根據歷史發

生原理從數學知識、學生對數學知識的認知和函數概念演變的不同發展階段，三個維度出發，從不同角度認識函數的本質及其形成過程。為函數概念教學提供一份教學示例，供廣大師生參考。

3.1教學設計的目的

從整體上講，對于函數概念，學生在已掌握“集合對應說”的基礎上，基于HPM視角下，借助史料完成對函數概念集合關系說的再認識。

3.2課堂教學設計

設X、Y為兩個集合，有對應法則 f ，使得對 ? x∈X,?唯一的 y ∈Y與之對應，則稱 f是定義在集合X到集合Y上的一個函數（或映射），記作

3.2.1課題引入

根據函數的三中表示方法：解析法、圖像法、表格法，本節課從函數的三種表示方法引入，借助PPT介紹函數概念的演進史，讓學生了解約翰.伯努利、歐拉、狄利克雷等數學大師給出的各自不同的函數定義，幫助學生理解今天函數概念的實質意義，進一步加深對函數概念的掌握。

3.2.2教學過程

（1）回顧已學的函數定義：

師：通過PPT介紹函數概念的演進史，我們知道 在第一章應用“對應關系”給出函數概念的“集合對應說”，哪位同學能說出函數的定義？

生：（學生A給出了函數的不完整定義，學生B有進行了補充。)

師：（通過A、B兩位學生的回答，教師給出下面函數概念的定義）

記作 y = f(x)，稱 y 為x在（映射）f下，的象， x 為 y的原象，X稱為f的定義域，記為 D (f)= X ，所有 x ∈ X 在映射 f下的象全體稱為 f的值域，記為R(f)：

師：我們知道函數的概念，從萌芽階段、變量依賴說、變量對應說再到集合對應說，那么函數這個概念到目前為止，是否達到嚴密了？

生：是，嚴密了。

師：不嚴密。這個定義雖然突破了數集與數集之間對應的限制，使函數外延大大擴張了，同時避免了“自變量”，“因變量”的提法，但這個定義任然有缺陷，從現代數學觀點來看，這個函數概念是不嚴格的，誰能說說，那句話是不嚴密的？

生：.....

師：因為這里引用到了與函數概念等價的“對應關系”或“對應”，何為對應關系或對應尚無定義，因此，這個函數概念有缺陷，是不嚴格的,下面將探索給出比較嚴格的函數定義。

（2）探索新的函數定義：

師：我們知道，兩個元素組成的集合 { x ,y }與{a ,b }相同是指？

師：對！集合中的元素沒有次序可言的。當我們說元素x與y組成“序對” ( x ,y ) 時，對序對 ( x ,y )與 ( a,b )來說，它們相等的意思是指：

生 ： x = a ,y=b 。

師：對于兩個集合A,B,記

即一切序對 ( x ,y )之全體，稱 A × B 為A與B的直積。

例如 A = {0,1}， B ={2,4,1}，則

從直積的觀點看問題，二維平面就是直積：

師：我們已知一元函數的圖像 y = f(x)，x∈ A 是坐標平面 R2上有序數對的集合{(x,y)x ∈A,y =f(x)∈B}，這個有序數對的集合實質是笛卡爾積集 A × B 的一個子集，而且它是一個特殊的子集，它的特殊性就是單值性，即?x∈A，有唯一一個y=f(x),使(x,y)∈A×B，這就啟發我們，函數實質是笛卡爾積集 A × B 內的具有單值性的一個子集。

師：有了直積的概念，下面我們給出一種特殊的對應，我們稱作關系。

定義 設有集合X，Y我們說 f是X與Y之間的一個對應，是說f是 X × Y 的一個子集（即f?X×Y ）如果(x,y)∈f 就說y與給定的x對應，對應也稱為關系。

師：有此知，

如果f∶X→Y，那么f是X與Y之間的某類對應，當然是 X × Y 中的一個子集，此子集稱為f的圖形。

師：為什么此子集稱為f的圖形：

生：二維平面是直積，因(x,y)∈f，而(x,y)是平面上的點，點的運動構成平面圖形，所以子集為f的圖形。

師：不過要使一種對應成為一個函數，必須具備什么特征？

生：對于集合X中的每一個值，集合Y中都有唯一確定的值與之對應。

師：好！非常好！那么如何用關系，用符號語言來表達呢？

生：......

師:對每一個 x ∈ D (f)， f使其正好對應著一個y，也就是說，一個x要對應兩個y，那么這兩個y一定應該....

生：相等。

師：對！那么如何用關系來表示呢？

生：若(x,y)∈f，且(x,y′)∈f，則y= y′。

師：非常好！在這里，函數總是指單值對應。

師：結合老師所講的內容，能否用符號語言給出函數關系說的定義？

（在老師的指點下，同學們給出了函數關系說的定義。）

定義 給定集合X，Y若一切有序數對(x,y)（其中x∈X,y∈Y）的全體X×Y的某個子集f滿足條件(x,y)∈ f,(x,y′)∈f：時，有y = y′，則稱f?X×Y為從X到Y的函數。

師：這個定義的嚴密性優于先前的函數概念，一方面在于它用集合的語言定義了自變量，因變量，取值范圍和它們的法則——關系；另一方面在于該定義中不含有未定義的概念“對應”，而該定義中的“關系”是經過嚴格定義的。

4.加深對函數概念的理解

由此可見，確定一個函數仍有兩個要素：一是它的定義域；二是?x∈X，都有唯一一個y，使(x,y)∈f，這與第一章的函數定義完全相同，這個函數定義只涉及笛卡爾積集、集合的子集，都是已知的概念，避免了函數概念的集合對應說中“對應關系”一詞的不確定性，并使“對應關系”獲得了集合論的基礎，又使函數與它的直觀化——函數圖像統一了起來，在第一章約定的有關函數的表示法和有關術語都繼續適用，其中X、Y二集可能是子集 R ,R2...,Rn。這個函數定義包括了過去學過的一元函數以及將要學習的所有多元函數。

當X、Y不同情況時的各種函數：

⑴X?R,Y?R ， 當(x,y)∈f 或y= f(x)， x ∈ X ， y ∈ Y 是我們熟知的一元函數。

⑵設 X ?R2,Y?R即?( x ,y )∈X?R2，?z ∈Y 使(x,y,z )∈f ?R2×R =R3或z=f(x,y),(x,y)∈X,z∈Y ，這是二元函數。

二元函數 z = f(x ,y)在三維歐氏空間 R3中的點集

稱為二元函數的圖像，通常它是三維空間中的一張曲面。

二元和二元以上的函數稱為多元函數。

例如，在 R3中，長、寬、高分別是 x ,y ,z的立體體積

V是 x ,y ,z的三元函數。

y是n元 x1, x2,...xn的實值函數，它的定義域

將n元實值函數表為 y =f(P),P∈Rn,稱為點P的函數，簡稱點函數。點函數的表示與一元函數的形式一致，且與點P所在的空間維數無關，因此點函數形式簡單，又具有一般性，有時為書寫簡單，將多元函數也寫成點函數的形式。

是一元二值向量函數，即我們已知的參數方程。例如，已知的圓的參數方程：

其中r是正常數。

5.教學反饋與啟示

通過HPM視角把數學史融入函數概念的課堂教學中，學生不僅解了函數概念的發展歷史，借助史料完成對函數概念的集合對應說和集合關系說的再認識，達到了預期的教學效果。

課后學生的反映也比較強烈，從教學過程看，不像以往，在講函數概念時，學生覺得第一章學過，也不認真聽講，通過數學史融入課堂教學，學生回答問題的主動性和積極性比原來高，學生探究問題的積極性增強。課后對將數學史融入函數概念的課堂教學進行了問卷調查和訪談，絕大部分學生持正面看法，認為激發學生學習興趣，活躍課堂氣氛，增進了對概念本質的理解，不理解為什么在原來所學函數概念的基礎上重新給出函數的另一定義，通過介紹函數概念的歷史發展，揭示函數各個定義的局限性，這些疑惑便迎刃而解了，學生要求課下教師可以給出與課程相關的數學史資料，以便學生課下學習，同時也增加了學生學習數學史的興趣。

歷史發生原理告訴我們：學生對數學概念的理解過程與數學概念的歷史發展過程具有一定的相似性，歷史上數學家所遭遇的困難正是學生所經歷的障礙。M.克萊因說“歷史順序是教學的指南。”研究函數概念的發展歷史可以幫助教師更好地把握教學難點，有助于診斷學生在學習函數概念時的認知困難，從而合理地選擇教學手段和方法，以突破函數概念理解的難點。

[1]張新村.高中新課程標準下函數概念的教與學[D].蘭州：蘭州大學，2010.10.

[2]周民強.數學分析(第一冊)[M].上海：上海科學技術出版社,2002.

[3]杜石然.函數概念的歷史發展[J].數學通報，1961（06）.

[4]余雷.函數發展的歷史及意義[J].時代農機，2015(02).

[5]林永偉，葉立軍.數學史與數學教育[M].杭州：浙江大學出版社，2004.

[6]吳駿，汪曉勤.發生教學法：從理論到實踐[J].教育理論與實踐,2013（02）.

[7]汪曉勤.HPM的若干研究與展望[J].中學數學月刊，2015（02）.

[8]劉玉璉.數學分析(第一冊) [M].上海：高等教育出版社，2003.

[9]劉玉璉.數學分析(第二冊) [M].上海：高等教育出版社，2003.