類比推理在幾何中的應用

燕淑珍

我們在文科選修1-2理科選修2-2中學習過類比推理，下面就類比推理談一下筆者的一些想法。這種由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）。簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。在數(shù)學中，我們可以由已經解決的問題和已經獲得的知識出發(fā)，通過類比提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)。數(shù)學家波利亞曾提出：“類比是一個偉大的引路人，求立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的問題。”利用類比聯(lián)想可以發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學知識，利用類比可以尋求到解決數(shù)學問題的方法和途徑，可培養(yǎng)學生的發(fā)散思維、創(chuàng)造思維及合情推理能力。本文就類比推理在解析幾何和立體幾何中的應用作一些探討。

一、類比推理在解析幾何中的應用

例1.在平面直角坐標系內，方程表示在x 軸和y 軸上的截距分別為a和b的直線，拓展到空間，在x軸y軸z軸上的截距分別為a 、b 、c（a b c≠0）的平面方程為（ ）

A. B.

C. D.

分析：由結構上的相似性產生聯(lián)想可以得到結論：二維到三維只要在直線方程的左邊加上就可以得到平面的方程了，所以選擇A。

例2.在平面直角坐標系內，以點（x0，y0）為圓心，r為半徑的圓的方程為（x–x0）2 + （y– y0）2 = r2 ，拓展到空間，在空間直角坐標系內，以點（x0 ，y0 ，z0）為球心，r為半徑的球的方程為 。

分析：由圓的定義和球的定義的相似性可以聯(lián)想到它們方程之間在結構上的相似性，故在空間直角坐標系內，以點（x0，y0，z0）為球心，r為半徑的球的方程為（x–x0）2 + （y–y0）2+（z– z0）2 = r2。

例3.點P在⊙O：x2 + y2 = r2 （r>0）外的充要條件是|OP|>r；將此結論類比到橢圓，并給出證明。

分析：點在圓外可以用點到圓心的距離大于半徑來作判斷，那么這個結論要類比到橢圓。我們首先得分析類比對象，圓心是定點半徑是定長，在橢圓中定點是焦點定長是長軸長。因此，我們可以寫出這樣類似的結論：若橢圓（a>b>0）的左右焦點分別是F1 、F2 ，則點Q在橢圓（a>b>0）外的充要條件是|QF1|+|QF2|>2a 。

解：類似的結論：若橢圓（a>b>0）的左右焦點分別是F1 、F2 ，則點Q在橢圓（a>b>0）外的充要條件是|QF1|+|QF2|>2a 。

例4.已知命題： 在平面直角坐標系XOY中，△ABC頂點A（-P，0）和B（P，0），頂點B在橢圓（m>0，n>0，p =）上，橢圓的離心率是e，則，試將該命題類比到雙曲線中，給出一個真命題： 。

分析：由橢圓的定義及正弦定理可以得到，，那么類比到雙曲線中，可以得到這樣的一個真命題：在平面直角坐標系XOY中，△ABC頂點A（-P，0）和B（P，0），頂點B在雙曲線（m>0，n>0，）上，雙曲線的離心率是e，則。證明與橢圓的類似，下面給出它的證明過程。由雙曲線的定義及正弦定理可以得到，

二、類比推理在立體幾何中的應用

例5.如圖，若射線OM，ON上分別存在點M1、M2與點N1、N2，則三角形面積之比。若不在同一平面內的射線OP，OQ和OR上分別存在點P1、P2，點Q1、Q2和點R1、R2，則類似的結論是 （不要求寫出證明過程）。

分析：這是一個由平面到空間的推廣，首先找出類比對象。面積對應體積，三角形△OM1N1，△OM2N2對應四面體O-P1Q1R1，四面體O-P2Q2R2 ，OM1×ON1 ，OM2×ON2 對應OP1×OQ1×OR1 ，OP2×OQ2×OR2 。因此，類似結論為： 。

例6.如圖，已知O是△ABC內任意一點，連結AO，BO，CO并延長交對邊于A1，B1，C1，則。運用類比，猜想對于空間中的四面體，類似的結論是 。

分析：如圖，首先找出類比對象，已知O是△ABC內任意一點，對應已知O是四面體A-BCD內任意一點；連結AO，BO，CO并延長交對邊于A1，B1，C1，對應連結AO，BO，CO，DO并延長交對面BCD，ACD，ABD，ABC于A1，B1，C1，D1；對應。因此，類似結論為：已知O是四面體A-BCD內任意一點，連結AO，BO，CO，DO并延長交對面于A1，B1，C1，D1，則。

類比思想方法是數(shù)學解題中常用的策略，我通過幾個例題來說明類比推理在解析幾何和立體幾何中的應用。數(shù)學中還有向量與數(shù)的類比，無限與有限的類比，不等與相等的類比，等等。實際上，類比的應用無處不在。例如：在人們的創(chuàng)造發(fā)明活動中，我國古代工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的齒牙，發(fā)明了鋸；人們仿照魚類的外形和它們在水中的沉浮原理，發(fā)明了潛水艇。