例談高中數學解題策略

楊敏

摘要：數學教學中，解題作為最重要的一環，一直是我們關注的熱點，從而培養學生的解題技巧和思考方法也是我們關注的重要方向。數學的解題技巧和日常數學教學活動密切聯系，因此，如何在教學中了解學生的解題經驗積累、教師如何設置教學情境和教學內容，對保證學生對數學解題的興趣提高有著重要的意義。

關鍵詞：高中數學；解題例談；經驗交流

高中數學不同于語文、英語、歷史這類文科課程，背誦記憶這種學習方法是不適用數學學科的，它更注重變通，需要靈活運用所學知識的同時還要掌握一定的解題方法和技巧。學生在掌握了數學解題技巧后，不但解題速度可以得到有效提升，還有助于數學素養的提高，能夠運用數學知識、思維獨立思考，解決問題。

一、重視審題訓練

想要有效提高解題的效率并保證解題的正確性，最為關鍵的就是審題。要求學生應該在準備解題之前，首先對題型進行認真分析，能夠找到問題的關鍵點與重要的條件，并且找到與問題有關的信息，將其進行收集，之后進行正確地分析研究，最終找到問題的突破口。

例如我們在學習函數基偶性的判斷之后，對有關題目進行解析時，如函數y=x3，x∈[-1，3]，判斷此函數的奇偶性。往往許多的同學在面對這類問題時，都沒有進行仔細地審題，因此就注意不到x的取值范圍，只機械套用函數的奇偶性，最終將公式進行化簡后得到y=x3，最后直接定義此函數為奇函數；但是如果學生在解題前能夠仔細解題，最后在判斷函數的奇偶性時就會參考x的取值范圍來進行解題，首先要判斷此函數的圖像是否關于坐標原點中心對稱，如果不對稱則說明此類函數不具有奇偶性，所以正確的解題過程應該為：因為2滿足定義域，但是-2不在定義域的范圍內，所以可以判斷此函數圖像關于坐標原點不對稱，最后判斷此函數為非奇非偶函數。

在針對這種類型題的解題時，一定要注意首先要仔細進行審題，在進行審題的過程中不僅能給解題帶來一定的思路，更能挖掘出問題的關鍵與隱含的重要條件。所以對學生進行審題訓練顯得至關重要，只有這樣才能夠有效提高學生的解題能力。

二、具體策略

策略1：回到“定義”去。

掌握定義的本質是學好數學的關鍵，熟悉定義的數學模型、方程形式等，則能在解題時獲得解題思路。

例1.已知一動圓外切于已知圓C：x2+y2-2ax=0 （a>0），且與y軸相切，求動圓圓心M的軌跡方程。

解：如圖，設動圓圓心為M（x，y）。

（1）若圓M在y軸的右側，且與y軸相切于A，與圓C外切與B，則有|MA|=|MB|。因為|MA|=|MB|=|MC|-|BC|=|MC|-a，所以|MA|+a=|MC|。點M到直線x=-a和定點C的距離相等，根據拋物線的定義，則圓心M的軌跡方程為y2=4ax。

（2）若圓M在y軸的左側，且與y軸相切、與圓C外切，則圓心M的軌跡方程為y=0 （x<0）。

綜上所述，動圓圓心M的軌跡方程為y2=4ax和y=0（x<0）。

點評：數學中的定義是反映數學對象本質屬性的思維形式，是構成判斷、推理的基礎。學好數學，一定要把數學定義理解得生動、形象、具體，要從數、形、式等各方面深入淺出地理解，才能使用起來得心應手。

策略2：化抽象為具體。

數學題有時很抽象，總讓我們感到無法入手。這時，我們要將抽象的問題化為具體的表達式，建立一個數學模型，使問題得到合理解決。

例2.已知函數f（x）為偶函數，將函數f（x）的圖像向右平移1個單位，得到一個奇函數。若f（2）=-1，求f（1）+f（2）+…+f（2013）的值。

解：構造函數f（x）=cosωx （ω>0），由f（2）=-1，取ω= 。

所以f（x）=cos x，最小正周期為4，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，f（1）+f（2）+…+f（2013）=cos[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）=cos =0。

點評：將一個抽象的數學問題，通過構造一個具體的數學模型，使問題得到簡化，從而得到了有效解決。

策略3：數、形轉換。

數與形是數學的兩個不同側面，形具有直觀、形象、感性的特點，但不夠準確、嚴密；數具有理性、抽象的特點，數量關系具有準確、嚴密的特點。但兩者不能偏廢，數形結合是我們解題的有力工具，要真正做到由“數”想“形”、見“形”思“數”。

例3.求函數y= 在[0，π]上的最值。

解：將比值 看作兩個點A（2，1）、B（cosx，sinx）連線的斜率，點B是單位圓x2+y2=a的上半圓的一動點，如圖，斜率的最小值為 =0，最大值為 =1，所以函數y=的最大值為1，最小值為0。

點評：由分式型聯想到直線的斜率、由根式聯想到兩點之間的距離等，體現了由“數”想“形”的思想。

三、解題后的反思

大部分的人在做題的時候，往往只關心答案。大部分老師的講解或例題講解，往往也是主要講計算過程或答案。但是對整個解題思考過程，往往講解的并不夠清楚細致。只是讓我們知道了計算過程，卻不知道思考的過程——而這才是解題最重要的方面。這就和我們梳理知識體系一樣，如果只看到表面的知識本身，而沒有把握知識內在的聯系，就不能夠真正的做到徹底理解，也就不可能取得長足的進步。？解題后的反思是指解題后對審題過程和解題方法及解題所用知識的回顧與思考，是提高解題能力的一個重要途徑，只有這樣，才能有效地深化對知識的理解，提高思維能力。假如解數學題解一道扔一道，這樣將無助于解題能力的提高。

解題后的反思必須做到以下兩點：（1）總結經驗與方法。解題后，可以從解題方法、解題規律、解題策略等方面進行總結，從而為以后解題積累經驗，培養解題能力；（2）善于推廣引申。解完一題后，要善于將原來題目的題設、結論改變一下，或者互換一下，把特殊條件一般化，把一般條件特殊化，嘗試舉一反三，觸類旁通，從而提高解題的能力。

解題策略的構建是一個極為復雜的課題，以上只是本人一些粗淺的想法。在課堂教學中教師不僅要講清楚如何解決一個問題，更重要的是要講透為什么這樣解。引導學生從常規常法、由特殊到一般法、從模型化的思想方法等幾個方面尋找“解題策略”這一過程性思維必不可少。當然學生多練、多思、多歸納總結是培養學尋求“解題策略”的不二法門。

參考文獻

[1] 張泉.世紀金榜：高中全程復習方略.福建教育出版社，2014-03.