等價無窮小在極限運算中的應用

【摘 要】等價無窮小在極限的求解中具有重要作用，其可使復雜的極限求解簡單化，是我們高中生學習的難點及重點之一。本文主要在等價無窮小的理論基礎上，通過實例對等價無窮小代換的簡潔性與價值性進行驗證，并進一步推廣等價無窮小的替換定理，以提高我們極限求解的能力。

【關鍵詞】等價無窮小 極限 運算

一、引言

等價無窮小是極限求解過程中最常用的方法之一，同時也是我們高中生需掌握的重要知識點之一。雖然求極限的方法多種多樣，但我們在學習極限的過程中，由于極限思想相對抽象，而等價無窮小的替換是一種簡單有效的方法，可將求極限具體化、形象化，特別是在一些未定型求極限應用中，利用等價無窮小求解更加的簡便與快捷，這對我們更好的掌握求極限的理論與方法具有重要意義。

二、等價無窮小的理論基礎

極限是高等數學學習的理論基礎，在我們學習高等數學的

過程中具有重要作用。而等價去無窮小主要是指：設 ，

是某一變化過程中的無窮小量，且 ≠0，若 =1，則稱

與 使等價無窮小，記為 。

在我們高中學習過程中，常見的用來代換的等價無窮小有：設 為某一變化過程中的無窮小量，在有

常見的性質有：設 = ， = ， 是某一變

化過程中的無窮小量，且 ≠0， ≠0， ≠0，則

定理1：在自變量同一變化的過程中，若 ，

則得出的結論如下：

若 存在或為無窮大，則有 = ；若 不存在（除無窮大），則 也不存在。說明： = = ，證明完畢。

若 存在，則有 = = ，可知 即存在，這種情況下，則和題設是矛盾的，因此， 是不存在的，證明完畢。……