三點(diǎn)共線定理及應(yīng)用

●李建標(biāo) (余姚中學(xué) 浙江余姚 315400) ●唐恒鈞 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

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三點(diǎn)共線定理及應(yīng)用

●李建標(biāo) (余姚中學(xué) 浙江余姚 315400) ●唐恒鈞 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

縱觀近幾年的數(shù)學(xué)高考試題，十分強(qiáng)調(diào)幾何背景和代數(shù)性質(zhì)的結(jié)合.其中對(duì)于不少點(diǎn)在直線上的問(wèn)題,可由平面向量中的三點(diǎn)共線定理順利求解.由三點(diǎn)共線的推論則可進(jìn)一步求解平面區(qū)域中的變量范圍計(jì)算、平面區(qū)域有關(guān)的面積問(wèn)題.文章通過(guò)典型例題的分析，闡述三點(diǎn)共線定理在平面向量問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值及操作方式.

向量；三點(diǎn)共線定理；推論；變量范圍；區(qū)域面積

因?yàn)橄蛄烤哂写鷶?shù)形式(有序?qū)崝?shù)對(duì)表示)與幾何形式(有向線段表示)的雙重特點(diǎn)，所以不少平面向量試題都強(qiáng)調(diào)幾何背景和代數(shù)性質(zhì)的結(jié)合，要求學(xué)生綜合運(yùn)用邏輯推理和運(yùn)算能力解決實(shí)際問(wèn)題．這類試題簡(jiǎn)潔、新穎、思維靈活性強(qiáng)，具有較強(qiáng)的創(chuàng)新性，其中以線段或直線為背景的一類題常與三點(diǎn)共線定理有關(guān).筆者綜合研究三點(diǎn)共線定理及它在各類問(wèn)題中的應(yīng)用.

1 三點(diǎn)共線定理及推論

故點(diǎn)A,B,P共線.

(必要性)因?yàn)辄c(diǎn)A,B,P共線,所以

令μ=1-λ，于是

λ+μ=1.

從推導(dǎo)過(guò)程知:當(dāng)λ∈(0,1)時(shí)，μ∈(0,1)且點(diǎn)P在線段AB上；當(dāng)λ>1時(shí)，μ<0且點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上；當(dāng)λ<0時(shí)，μ>1且點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上.

1)點(diǎn)C在直線AB的外側(cè)(不含點(diǎn)O的一側(cè))的充要條件是λ+μ>1;

2)點(diǎn)C在直線AB的內(nèi)側(cè)(含點(diǎn)O的一側(cè))的充要條件是λ+μ<1.

圖1

1)證明 (必要性)如圖1,聯(lián)結(jié)OC，AB，相交于點(diǎn)C′,則存在實(shí)數(shù)m(其中m>1)使得

于是

λ+μ=m(x′+y′)=m>1.

(充分性)因?yàn)棣?μ>1，所以存在m>1，使得

λ=mx′，μ=my′,

且

x′+y′=1，

從而

λ+μ=m(x′+y′)=m>1,

因?yàn)辄c(diǎn)C′在直線AB上，所以點(diǎn)C在直線AB外側(cè).

同理可證推論1的第2)個(gè)結(jié)論(略).

推論2 如圖2，過(guò)點(diǎn)O作l2∥l1，則l2,l1把平面分成3個(gè)部分:第Ⅰ區(qū)域λ+μ>1，第Ⅱ區(qū)域0<λ+μ<1，第Ⅲ區(qū)域λ+μ<0.

圖2 圖3

2 三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用

考向1 點(diǎn)在線上

故

圖4 圖5

圖6 圖7

λ+μ=m(x+y)=m.顯然當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，λ+μ取到最小值，此時(shí)

從而

即

故

考向2 平面區(qū)域中的變量范圍計(jì)算問(wèn)題

圖8 圖9

分析 由三點(diǎn)共線定理知，當(dāng)P在邊DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，x+y=1，△ADC所在區(qū)域可以用平行直線DC的一簇平行線表示.如圖9，由推論2知平行線向左下移動(dòng)至直線l1(其中l(wèi)1∥CD，且l1過(guò)點(diǎn)O)處時(shí)，x+y=0；平移至直線l2(其中l(wèi)2∥CD，且l2過(guò)點(diǎn)A)處時(shí)，x+y=-1，因此x+y的取值范圍為[-1,1].

變式1 例3中的條件不變，求x+2y的取值范圍.

圖10 圖11

變式2 例3中的條件不變，求2x+y的取值范圍.

考向3 與平面區(qū)域有關(guān)的面積問(wèn)題

( )

圖12 圖13

( )

A.8 B.16 C.32 D.64

圖14

分析 由推論3知λ≥0,μ≥0且λ+μ≤1,因此當(dāng)a≥0,b≥0時(shí)，原不等式即為aλ+bμ≤2，如圖14，亦即

從而

故

總之,向量是數(shù)形結(jié)合的重要橋梁,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效工具.為此,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)高度重視向量及其三點(diǎn)共線定理的教學(xué),并逐步加強(qiáng)向量在幾何問(wèn)題與線性規(guī)劃應(yīng)用方面的教學(xué),切實(shí)發(fā)揮好向量的橋梁與工具作用.

[1] 梁懿濤．平面向量三點(diǎn)共線定理的推論及空間推廣[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011(7)：47-49．

[2] 馬海龍．平面向量三點(diǎn)共線與等和線妙用[J]．?dāng)?shù)學(xué)之友，2014(4)：61-62．

2016-02-25；

2016-03-28.

李建標(biāo)(1973-)，男，浙江余姚人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)06-39-04