化曲為直：直觀與嚴謹性的完美結合
——談利用曲線的切線判定零點的存在性

●唐 庚 李 敏 (中國人民大學附屬中學分校 北京海淀 100086)

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化曲為直：直觀與嚴謹性的完美結合
——談利用曲線的切線判定零點的存在性

●唐 庚 李 敏 (中國人民大學附屬中學分校 北京海淀 100086)

文章利用曲線的切線界定其發展趨勢，在探究復雜函數零點過程中，利用切線的零點的可求性，將對應的函數值進行放縮，從而找到變號零點的所在區間，改進了以往僅憑函數圖像發展趨勢直觀說明的解決方式.

化曲為直;零點;切線;探究

零點是高中數學中函數內容的一個重要概念,也是近年高考的熱點之一.可是有時我們明知它的存在，卻不知它到底在哪里.下面舉例說明.

例1 已知函數f(x)=ax2-ex(其中a∈R),f′(x)是其導函數(其中e為自然對數的底數)，若f(x)有2個極值點x1,x2，求實數a的取值范圍.

上述2種解法，都是在函數與方程之間相互轉化，體現了數形結合的思想，訓練了學生解決問題的能力.但細細品來，覺得整個過程直觀性有余而嚴謹性不足.數學的根本任務在于優化學生的思維品質，發展思維水平和能力，上述解法給人草草收兵、戛然而止的感覺，似乎意猶未盡.

為了完整地解決這個問題，我們首先回顧一下函數零點的定義：一般地，如果函數y=f(x)在實數a處的值為0，即f(a)=0,則a叫做這個函數的零點.如果函數y=f(x)在一個區間[a,b]上的圖像不間斷，并且在它的2個端點處的函數值異號，即f(a)f(b)<0,則這個函數在這個區間上至少有一個零點，即存在一點x0∈(a,b),使得f(a)=0，并稱這樣的零點為變號零點,即零點存在定理.還有一類叫做不變號零點[1].

上述定義與定理，是我們判定零點是否存在的重要依據.如果是變號零點，我們有必要指出這個零點存在范圍(區間).

我們先求曲線y=2ax-ex在x=ln4a(這是一個任意選定、便于計算的值，當然ln4a∈(ln2a,+∞))處的切線，易得切點為(ln4a,2aln4a-4a)，切線斜率為-2a，因此切線方程為

y=-2ax+4aln4a-4a.

下面先證明曲線y1=2ax-ex始終位于直線y2=-2ax+4aln4a-4a的下方.

構造函數

F(x)= 2ax-ex-(-2ax+4aln4a-4a)=

4ax-ex-(4aln4a-4a)，

則

F′(x)=4a-ex,

可知在(-∞,ln4a)上，F′(x)>0,F(x)單調遞增,在(ln4a,+∞)上，F′(x)<0,F(x)單調遞減,因此F(x)在x=ln4a處取得極大值.因為F(ln4a)=0,所以2ax-ex≤-2ax+4aln4a-4a在(-∞,+∞)上恒成立,即曲線y1=2ax-ex始終在直線y2=-2ax+4aln4a-4a下方,當x=2ln4a時(這也是在(ln2a,+∞)內一個任意選定、便于計算的值),y2|x=2ln4a=-2a·2ln4a+4aln4a-4a<0,從而g(2ln4a)<0.說明函數f′(x)=g(x)=2ax-ex在[ln2a,2ln4a]上存在x2使得g(x2)=0，故函數g(x)分別在區間(0,ln2a),(ln2a,2ln4a)內各有一個零點x1,x2.即f(x)有2個極值點x1,x2.

嚴格說來，函數變號零點若存在，都應該通過其在某個區間上端點值的異號來解決.很多情況下，這2個端點不易找到，于是有的解答只能依賴圖像直觀斷定，有的更是借助x→+∞時的趨勢，讓人產生只可意會不可言說的感覺.數學的科學性與嚴謹性在此也打了折扣.我們采用化曲為直的方式可以部分解決這類問題.

再來看一個流傳甚廣的例子：

2015年北京市朝陽區高三一模考試中有如下問題(改編)：

命題組給出的標準答案如下：

標準答案對第1)和第2)種情況的討論是沒有疑問的.但第3)種情況是從函數的發展趨勢上判定其圖像不是以x軸為漸近線，因此圖像在極值點的左、右2側都會穿過x軸，從而有2個零點.這么做，與其說是顯然，不如說是無奈之舉,缺少理性思維，沒有深度，數學味隨之降低.下面借助切線對零點的存在性予以證明.

其中Δ=1+2a>0,因此上述方程有2個相異實根

在x=x1處，

g(x1)=-a(x1-1)>-alnx1=h(x1),

從而

f(x1)=g(x1)-h(x1)>0.

同理，在x=x2處

g(x2)=-a(x2-1)>-alnx2=h(x2),

從而

f(x2)=g(x2)-h(x2)>0.

調整后的解法，不再僅憑函數圖像的趨勢定性說明,而是將曲線轉化為直線.這里的化曲為直，本質是放縮法，是不等量代換,它將不可比較的含有指、對數與多項式的混合函數，轉化成了多項式函數，從而使計算成為了可能.這比憑運氣去找到某個自變量使其函數值為正顯然要有依據、有規律，也更容易為人所接受，體現了數學的嚴謹性.

以上2個問題都包含了轉化與化歸的思想.數學解題就是在不斷轉化，化歸的基本目標是將生疏化為熟悉、將復雜化為簡單、將抽象化為直觀.但是選擇合理的有效的轉化途徑很重要,這就需要我們善于發現知識間的聯系并用于解決新問題，這也是數學創造性思維的重要特征.教師要有意識地選擇一些具有挑戰性的問題，為發展學生思維、培養創新意識提供舞臺.

新課標指出：高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力.數學的學習，在于培養人的理性精神、理性的思維方式[2]，如果僅作圖形上的直觀解釋，勢必會使學習流于膚淺，缺乏深刻性.愛因斯坦說過：“為什么數學比其他一切科學更受到特殊尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的，而其他一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經常處于會被新發現的事實推翻的危險之中.”我們教師任重而道遠.

[1] 人民教育出版社中學數學室.普通高中課程標準實驗教科書《數學(必修1)》(B版)[M].北京：人民教育出版社,2007.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(2003版)[M].北京：人民教育出版社,2013.

2016-03-10；

2016-04-26.

唐 庚(1971-)，男，北京海淀人，中學高級教師，研究方向：數學教育.

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1003-6407(2016)06-34-03