利用對數平均不等式巧解高考數學題

●鄧群毅 (浙江大學附屬中學 浙江杭州 310007)

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利用對數平均不等式巧解高考數學題

●鄧群毅 (浙江大學附屬中學 浙江杭州 310007)

文章介紹了幾何—對數—算術平均不等式，通過具體實例展示了其在高考真題、模擬試題、模塊考試試題中的具體應用，給出了簡潔、有效的解法，擴寬了解題思路.

幾何平均；對數平均；算術平均

算術—幾何平均不等式是大家熟悉的，但是加強這個不等式得到的幾何—對數—算術平均不等式則比較少見.以對數平均不等式為背景的試題不斷出現在近幾年的高考模擬考試、高考和大學自主招生考試中.以下筆者通過舉例說明幾何—對數—算術平均不等式的具體應用.

1 認識不等式

2 不等式的應用舉例

例1 已知函數f(x)=ex,其中x∈R.

1),2)略.

(2013年陜西省數學高考理科試題第21題)

由對數—算術平均不等式，得

即

評注 待比較的2個式子以指數形式給出，經過變換后，可直接使用對數—算術平均不等式，問題迎刃而解.

例2 設函數f(x)=alnx-bx2，其圖像在點P(2,f(2))處切線的斜率為-3.

1)略.

2)當a=2時，令g(x)=f(x)-kx，設x1，x2(其中x1

(江蘇省南通市2014屆高三第一次數學模擬試題第20題)

證明 由a=2，a=8b-6，知b=1，即

g(x)=2lnx-x2-kx.

因為x1，x2是函數g(x)=0的2個根，所以

2個式子相減得

又x1≠x2，從而

于是

由對數—算術平均不等式得

即

因此

g′(x0)<0.

評注 表達式g′(x0)中有對數平均的變形結構，可直接利用對數—算術平均不等式判定其符號.

例3 設函數f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導函數.

1)，2)略.

3)設n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明.

(2014年陜西省數學高考理科試題第21題)

證明 由題意，得

從而g(1)+g(2)+…+g(n)>n-f(n)，該不等式等價于

(n+1).

由對數—算術平均不等式的變形，知

即

(浙江省五校2011屆高三第一次數學聯考自選模塊第3題)

證明 令b′=2b，只需要證明

由對數—算術平均不等式的變形，得

取n=1,2,3，把所得的3個不等式相加，利用幾何—對數平均不等式，得

評注 把例4中的不等式推廣到n元情形，即2008年浙江大學自主招生數學試題的第6題：

3 解題感悟

在高三試卷講評時，要關注試題的背景和實質，擺脫參考答案的限制，拓寬解題思路.一方面，教師自己要善于解題，充分挖掘問題；另一方面，在課堂教學中，可以介紹一些新穎的解題方法，啟發學生的思維，提高學生的解題能力.“研究問題，追求本質”應該成為所有數學教師努力的方向.

[1] 姜衛東.關于對數平均的一個不等式[J].高等數學研究，2007(10):53-54.

2016-01-11；

2016-04-06.

鄧群毅(1987-)，男，浙江遂昌人，中學二級教師，研究方向：數學競賽和數學解題.

O122.6

A

1003-6407(2016)06-20-03