圓錐曲線問題減少運算量的幾點妙法

●吳靈喜 (蘭溪市第三中學(xué) 浙江蘭溪 321100)

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圓錐曲線問題減少運算量的幾點妙法

●吳靈喜 (蘭溪市第三中學(xué) 浙江蘭溪 321100)

圓錐曲線是數(shù)學(xué)高考的必考內(nèi)容，綜合運算能力是其要考查的能力之一.圓錐曲線問題思維量大，運算繁雜，很難得到完整解決.因此若能選擇運用合理的運算方法，減少運算量，提高正確率,將事半功倍.

圓錐曲線;運算量;技巧;性質(zhì)

圓錐曲線題以其思維量大、運算繁雜而使多數(shù)學(xué)生膽顫心驚．綜觀歷年數(shù)學(xué)高考真題，固然有一些試題是考查學(xué)生的運算能力和堅韌不拔的意志(這是高考著重要考查的一個方面)，但不可否認，有些試題只要稍稍留意，平時積累一點運算技巧，便能減少運算量，節(jié)約解題時間，提高正確率[1]．

1 巧設(shè)點坐標(biāo)

許多圓錐曲線問題都有涉及曲線上的動點和直線與它的交點問題，對點的坐標(biāo)的處理將直接影響計算量．點的坐標(biāo)有時設(shè)而不求，有時設(shè)而要求，有時迂回曲折，險中求勝．

1)求p的值；

x2-4px+4p=0.

設(shè)M1(x1,y1),M2(x2,y2),則

kM1F+kM2F=0,

即

從而

于是

即

p=4(此時滿足Δ>0).

2)學(xué)生的常見思路是由點M2,A的坐標(biāo)求直線AM2的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出點M3的坐標(biāo).此過程太過于繁雜，結(jié)果只有放棄．說明這時強攻硬拼不行，得另尋思路．下面給出第2)小題的2種解法:

kM2M3=kAM2,

因此

即

整理得

x2x3-t(x2+x3)=-16.

(1)

同理由點B,M3,M1共線可得

式(2)的2邊同乘以x2，得

x1x2x3-s(x1x2+x2x3)=-16x2,

即 16x3-s(16+x2x3)=-16x2.

(3)

由式(1)得x2x3=t(x2+x3)-16，

代入式(3)得

16x3-16s-ts(x2+x3)+16s=-16x2，

即

16(x2+x3)=st(x2+x3)，

從而

st=16,

評注 此法技巧性強，沒有一定的恒等變形能力及較強的預(yù)見性是不敢下筆的．

令y=2，得

同理可得

2 妙設(shè)直線方程

直線方程有5種表示形式，選擇哪種形式對計算量有很大影響.

1)求C1的方程；

因此

若用點斜式設(shè)直線l的方程為

代入橢圓方程得

9x2+16mx+8m2-4=0．

3 適當(dāng)運用平面幾何性質(zhì)

盡管解析幾何的精髓是用代數(shù)的方法研究平面曲線問題，但有時代數(shù)語言與幾何語言互相切換，妙用平面幾何性質(zhì)，能達到計算最優(yōu)化[2]．

1)求橢圓C的方程.

2)在橢圓C上，是否存在點M(m,n)，使得直線l:mx+ny=1與⊙O:x2+y2=1相交于不同的2個點A，B，且△AOB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△AOB面積；若不存在，請說明理由．

(m2+n2)x2-2mx+1-n2=0，

由韋達定理得

從而

整理可得

m2+n2=2.

又m2+3n2=3,得

方法2 假設(shè)存在滿足條件的點M，則

從而

m2+3n2=4，

因此

m2+n2=2(下略)．

評注 方法3僅用了一點平面幾何知識，就使運算量驟減，另外如何防止思維定勢也是值得大家深思的．

4 用已知直線降次減少運算量

圓錐曲線問題離不開直線相交，利用直線方程能達到x,y相互切換，給復(fù)雜的代數(shù)式化簡變形助一臂之力[3]．

例4 設(shè)拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸上，已知拋物線C上橫坐標(biāo)為3的點到C的準(zhǔn)線的距離等于4．

1)求拋物線C的方程；

2)設(shè)點N(3，0)，過點F的直線交拋物線C于點A，B，求|NA|·|NB|的最小值．

分析 1)求得拋物線的方程為y2=4x.

y2-4ty-4=0，

由韋達定理得

y1+y2=4t,y1y2=-4,

從而

做到這里學(xué)生思維受阻了，出現(xiàn)次數(shù)較高的非對稱式，韋達定理也很難用上．請看下面的迂回曲折的變換，最后如探囊取物：

當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，等號成立，因此|NA|·|NB|的最小值為8．

5 合理應(yīng)用常用性質(zhì)

若教師對例、習(xí)題中蘊含的性質(zhì),能讓學(xué)生先自行證明，再結(jié)合歷年高考真題強調(diào)其作用，則效果不言而喻．

( )

A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線

(-a-m,-n)· (-a-s,-t)=

(a+m)(a+s)+nt=0;

(a-m,-n)· (a-s,-t)=

(a-m)(a-s)+nt=0，

解得

(4)

又點P在橢圓M上，可令

由式(4)和式(5)得

從而

即點Q的軌跡是橢圓．

評注 此法設(shè)參較多，且要用到橢圓的參數(shù)方程，沒有一定的實力是很難解決的．

由“橢圓第三定義”知點Q的運動軌跡是橢圓(人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第41頁例3的具體應(yīng)用)．

有些題目不僅運算量大，而且有時毫無思路，運用性質(zhì)，能夠減少運算量，還能豁然開朗．

以上幾點做法只能算是雕蟲小技，難登大雅之堂，不過雕蟲小技雖很少單打獨斗，聯(lián)合起來就能發(fā)揮大的威力，再結(jié)合分析解題思路的預(yù)見能力、敏捷的思維能力和過硬的計算能力，完美解決圓錐曲線題也不是不可能的事情．

[1] 趙春祥.優(yōu)化圓錐曲線運算的10種方法與技巧[J].高中數(shù)理化,2015(7)：9-11.

[2] 范運靈,鄭文祥.減少解析幾何運算量的若干策略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2014(3):18-19.

[3] 曹興旺.例談圓錐曲線問題中解題方法的優(yōu)化[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2015(4):19-20.

2016-02-24；

2016-04-08.

吳靈喜(1969-)，男，浙江蘭溪人，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)06-22-04